Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16689 / 49839
↖ ↑ ↗
← N 39.540058°
W134.162293°		 ← 235.54 m → N 39.540058°
W134.159546°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
N 39.537940°
W134.162293°		 ← 235.55 m →
55 479 m²		 N 39.537940°
W134.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127330780029297 y=0.380245208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127330780029297 × 217)
    floor (0.127330780029297 × 131072)
    floor (16689.5)     		tx = 16689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380245208740234 × 217)
    floor (0.380245208740234 × 131072)
    floor (49839.5)     		ty = 49839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16689 / 49839 ti = "17/16689/49839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16689/49839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16689 ÷ 217
    16689 ÷ 131072     		x = 0.127326965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49839 ÷ 217
    49839 ÷ 131072     		y = 0.380241394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127326965332031 × 2 - 1) × π
    -0.745346069335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.34157374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380241394042969 × 2 - 1) × π
    0.239517211914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.752465513336021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34157374} λ = -2.34157374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752465513336021))-π/2
    2×atan(2.12222594804054)-π/2
    2×1.13045026165702-π/2
    2.26090052331404-1.57079632675     		φ = 0.69010420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34157374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.162293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69010420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.540058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16689 KachelY 49839 -2.34157374 0.69010420 -134.162293 39.540058
    Oben rechts KachelX + 1 16690 KachelY 49839 -2.34152580 0.69010420 -134.159546 39.540058
    Unten links KachelX 16689 KachelY + 1 49840 -2.34157374 0.69006723 -134.162293 39.537940
    Unten rechts KachelX + 1 16690 KachelY + 1 49840 -2.34152580 0.69006723 -134.159546 39.537940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69010420-0.69006723) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dl = 235.535869999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69010420-0.69006723) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dr = 235.535869999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34157374--2.34152580) × cos(0.69010420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771179683635883 × 6371000     		do = 235.538125547301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34157374--2.34152580) × cos(0.69006723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771203218859411 × 6371000     		du = 235.545313810363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69010420)-sin(0.69006723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771179683635883-0.771203218859411)×R²
    abs(-2.34152580--2.34157374)×2.35352235277153e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35352235277153e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35352235277153e-05×40589641000000     		ar = 55478.5238721477m²