Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16689 / 16623
↖ ↑ ↗
← S  2.624814°
E  3.350830°		 ← 1 220.36 m → S  2.624814°
E  3.361817°		 →
↑
1 220.37 m
↓
↑
1 220.37 m
↓
S  2.635789°
E  3.350830°		 ← 1 220.35 m →
1 489 275 m²		 S  2.635789°
E  3.361817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509323120117188 y=0.507308959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509323120117188 × 215)
    floor (0.509323120117188 × 32768)
    floor (16689.5)     		tx = 16689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507308959960938 × 215)
    floor (0.507308959960938 × 32768)
    floor (16623.5)     		ty = 16623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16689 / 16623 ti = "15/16689/16623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16689/16623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16689 ÷ 215
    16689 ÷ 32768     		x = 0.509307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16623 ÷ 215
    16623 ÷ 32768     		y = 0.507293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509307861328125 × 2 - 1) × π
    0.01861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05848302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.01458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0458276760367737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05848302} λ = 0.05848302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0458276760367737))-π/2
    2×atan(0.955206552987749)-π/2
    2×0.762492341685535-π/2
    1.52498468337107-1.57079632675     		φ = -0.04581164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05848302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.350830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04581164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.624814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16689 KachelY 16623 0.05848302 -0.04581164 3.350830 -2.624814
    Oben rechts KachelX + 1 16690 KachelY 16623 0.05867477 -0.04581164 3.361817 -2.624814
    Unten links KachelX 16689 KachelY + 1 16624 0.05848302 -0.04600319 3.350830 -2.635789
    Unten rechts KachelX + 1 16690 KachelY + 1 16624 0.05867477 -0.04600319 3.361817 -2.635789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04581164--0.04600319) × R
    0.000191549999999999 × 6371000     		dl = 1220.36504999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04581164--0.04600319) × R
    0.000191549999999999 × 6371000     		dr = 1220.36504999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05848302-0.05867477) × cos(-0.04581164) × R
    0.000191750000000004 × 0.9989508303311 × 6371000     		do = 1220.35754315259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05848302-0.05867477) × cos(-0.04600319) × R
    0.000191750000000004 × 0.998942039854171 × 6371000     		du = 1220.34680436095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04581164)-sin(-0.04600319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9989508303311-0.998942039854171)×R²
    abs(0.05867477-0.05848302)×8.79047692892154e-06×R²
    0.000191750000000004×8.79047692892154e-06×6371000²
    0.000191750000000004×8.79047692892154e-06×40589641000000     		ar = 1489275.14609792m²