Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16687 / 50039
↖ ↑ ↗
← N 39.115145°
W134.167786°		 ← 236.97 m → N 39.115145°
W134.165039°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
N 39.113014°
W134.167786°		 ← 236.98 m →
56 149 m²		 N 39.113014°
W134.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127315521240234 y=0.381771087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127315521240234 × 217)
    floor (0.127315521240234 × 131072)
    floor (16687.5)     		tx = 16687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381771087646484 × 217)
    floor (0.381771087646484 × 131072)
    floor (50039.5)     		ty = 50039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16687 / 50039 ti = "17/16687/50039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16687/50039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16687 ÷ 217
    16687 ÷ 131072     		x = 0.127311706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50039 ÷ 217
    50039 ÷ 131072     		y = 0.381767272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127311706542969 × 2 - 1) × π
    -0.745376586914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.34166961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381767272949219 × 2 - 1) × π
    0.236465454101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.74287813341201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34166961} λ = -2.34166961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74287813341201))-π/2
    2×atan(2.10197658586255)-π/2
    2×1.12674219460158-π/2
    2.25348438920317-1.57079632675     		φ = 0.68268806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34166961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.167786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68268806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.115145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16687 KachelY 50039 -2.34166961 0.68268806 -134.167786 39.115145
    Oben rechts KachelX + 1 16688 KachelY 50039 -2.34162167 0.68268806 -134.165039 39.115145
    Unten links KachelX 16687 KachelY + 1 50040 -2.34166961 0.68265087 -134.167786 39.113014
    Unten rechts KachelX + 1 16688 KachelY + 1 50040 -2.34162167 0.68265087 -134.165039 39.113014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68268806-0.68265087) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dl = 236.937490000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68268806-0.68265087) × R
    3.71900000000203e-05 × 6371000     		dr = 236.937490000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34166961--2.34162167) × cos(0.68268806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775879678171389 × 6371000     		do = 236.973624856303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34166961--2.34162167) × cos(0.68265087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775903140095939 × 6371000     		du = 236.98079073197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68268806)-sin(0.68265087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775879678171389-0.775903140095939)×R²
    abs(-2.34162167--2.34166961)×2.346192455005e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.346192455005e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.346192455005e-05×40589641000000     		ar = 56148.7848086004m²