Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16687 / 12204
↖ ↑ ↗
← N 41.672912°
E  3.328857°		 ← 912.51 m → N 41.672912°
E  3.339844°		 →
↑
912.58 m
↓
↑
912.58 m
↓
N 41.664705°
E  3.328857°		 ← 912.62 m →
832 790 m²		 N 41.664705°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509262084960938 y=0.372451782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509262084960938 × 215)
    floor (0.509262084960938 × 32768)
    floor (16687.5)     		tx = 16687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372451782226562 × 215)
    floor (0.372451782226562 × 32768)
    floor (12204.5)     		ty = 12204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16687 / 12204 ti = "15/16687/12204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16687/12204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16687 ÷ 215
    16687 ÷ 32768     		x = 0.509246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12204 ÷ 215
    12204 ÷ 32768     		y = 0.3724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509246826171875 × 2 - 1) × π
    0.01849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05809952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05809952} λ = 0.05809952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801504961647339))-π/2
    2×atan(2.2288928038237)-π/2
    2×1.14906292346155-π/2
    2.2981258469231-1.57079632675     		φ = 0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05809952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.328857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16687 KachelY 12204 0.05809952 0.72732952 3.328857 41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 16688 KachelY 12204 0.05829127 0.72732952 3.339844 41.672912
    Unten links KachelX 16687 KachelY + 1 12205 0.05809952 0.72718628 3.328857 41.664705
    Unten rechts KachelX + 1 16688 KachelY + 1 12205 0.05829127 0.72718628 3.339844 41.664705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72732952-0.72718628) × R
    0.000143239999999989 × 6371000     		dl = 912.58203999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72732952-0.72718628) × R
    0.000143239999999989 × 6371000     		dr = 912.58203999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05809952-0.05829127) × cos(0.72732952) × R
    0.000191749999999997 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 912.506620353982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05809952-0.05829127) × cos(0.72718628) × R
    0.000191749999999997 × 0.747047834519912 × 6371000     		du = 912.622956277018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72732952)-sin(0.72718628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.747047834519912)×R²
    abs(0.05829127-0.05809952)×9.52293592692e-05×R²
    0.000191749999999997×9.52293592692e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.52293592692e-05×40589641000000     		ar = 832790.237576226m²