Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16686 / 12206
↖ ↑ ↗
← N 41.656497°
E  3.317871°		 ← 912.74 m → N 41.656497°
E  3.328857°		 →
↑
912.77 m
↓
↑
912.77 m
↓
N 41.648288°
E  3.317871°		 ← 912.86 m →
833 177 m²		 N 41.648288°
E  3.328857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509231567382812 y=0.372512817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509231567382812 × 215)
    floor (0.509231567382812 × 32768)
    floor (16686.5)     		tx = 16686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372512817382812 × 215)
    floor (0.372512817382812 × 32768)
    floor (12206.5)     		ty = 12206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16686 / 12206 ti = "15/16686/12206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16686/12206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16686 ÷ 215
    16686 ÷ 32768     		x = 0.50921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12206 ÷ 215
    12206 ÷ 32768     		y = 0.37249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50921630859375 × 2 - 1) × π
    0.0184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05790777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801121466450378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05790777} λ = 0.05790777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801121466450378))-π/2
    2×atan(2.22803819801798)-π/2
    2×1.14891967883402-π/2
    2.29783935766805-1.57079632675     		φ = 0.72704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05790777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.656497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16686 KachelY 12206 0.05790777 0.72704303 3.317871 41.656497
    Oben rechts KachelX + 1 16687 KachelY 12206 0.05809952 0.72704303 3.328857 41.656497
    Unten links KachelX 16686 KachelY + 1 12207 0.05790777 0.72689976 3.317871 41.648288
    Unten rechts KachelX + 1 16687 KachelY + 1 12207 0.05809952 0.72689976 3.328857 41.648288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72704303-0.72689976) × R
    0.000143270000000029 × 6371000     		dl = 912.773170000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72704303-0.72689976) × R
    0.000143270000000029 × 6371000     		dr = 912.773170000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05790777-0.05809952) × cos(0.72704303) × R
    0.000191750000000004 × 0.747143055198113 × 6371000     		do = 912.739281594952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05790777-0.05809952) × cos(0.72689976) × R
    0.000191750000000004 × 0.747238273835642 × 6371000     		du = 912.855604419889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72704303)-sin(0.72689976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747143055198113-0.747238273835642)×R²
    abs(0.05809952-0.05790777)×9.52186375290376e-05×R²
    0.000191750000000004×9.52186375290376e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.52186375290376e-05×40589641000000     		ar = 833177.017046794m²