Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16686 / 12178
↖ ↑ ↗
← N 41.885921°
E  3.317871°		 ← 909.48 m → N 41.885921°
E  3.328857°		 →
↑
909.52 m
↓
↑
909.52 m
↓
N 41.877741°
E  3.317871°		 ← 909.60 m →
827 247 m²		 N 41.877741°
E  3.328857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509231567382812 y=0.371658325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509231567382812 × 215)
    floor (0.509231567382812 × 32768)
    floor (16686.5)     		tx = 16686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.371658325195312 × 215)
    floor (0.371658325195312 × 32768)
    floor (12178.5)     		ty = 12178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16686 / 12178 ti = "15/16686/12178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16686/12178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16686 ÷ 215
    16686 ÷ 32768     		x = 0.50921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12178 ÷ 215
    12178 ÷ 32768     		y = 0.37164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50921630859375 × 2 - 1) × π
    0.0184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05790777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37164306640625 × 2 - 1) × π
    0.2567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.806490399207825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05790777} λ = 0.05790777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.806490399207825))-π/2
    2×atan(2.24003255492013)-π/2
    2×1.15092177947462-π/2
    2.30184355894924-1.57079632675     		φ = 0.73104723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05790777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73104723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.885921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16686 KachelY 12178 0.05790777 0.73104723 3.317871 41.885921
    Oben rechts KachelX + 1 16687 KachelY 12178 0.05809952 0.73104723 3.328857 41.885921
    Unten links KachelX 16686 KachelY + 1 12179 0.05790777 0.73090447 3.317871 41.877741
    Unten rechts KachelX + 1 16687 KachelY + 1 12179 0.05809952 0.73090447 3.328857 41.877741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73104723-0.73090447) × R
    0.00014276000000002 × 6371000     		dl = 909.523960000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73104723-0.73090447) × R
    0.00014276000000002 × 6371000     		dr = 909.523960000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05790777-0.05809952) × cos(0.73104723) × R
    0.000191750000000004 × 0.744475627971783 × 6371000     		do = 909.480647798749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05790777-0.05809952) × cos(0.73090447) × R
    0.000191750000000004 × 0.744570934047443 × 6371000     		du = 909.597077441539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73104723)-sin(0.73090447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744475627971783-0.744570934047443)×R²
    abs(0.05809952-0.05790777)×9.53060756601065e-05×R²
    0.000191750000000004×9.53060756601065e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.53060756601065e-05×40589641000000     		ar = 827247.389509105m²