Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16685 / 12205
↖ ↑ ↗
← N 41.664705°
E  3.306885°		 ← 912.58 m → N 41.664705°
E  3.317871°		 →
↑
912.65 m
↓
↑
912.65 m
↓
N 41.656497°
E  3.306885°		 ← 912.69 m →
832 911 m²		 N 41.656497°
E  3.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509201049804688 y=0.372482299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509201049804688 × 215)
    floor (0.509201049804688 × 32768)
    floor (16685.5)     		tx = 16685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372482299804688 × 215)
    floor (0.372482299804688 × 32768)
    floor (12205.5)     		ty = 12205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16685 / 12205 ti = "15/16685/12205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16685/12205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16685 ÷ 215
    16685 ÷ 32768     		x = 0.509185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12205 ÷ 215
    12205 ÷ 32768     		y = 0.372467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509185791015625 × 2 - 1) × π
    0.01837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05771603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372467041015625 × 2 - 1) × π
    0.25506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.801313214048859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05771603} λ = 0.05771603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801313214048859))-π/2
    2×atan(2.22846545995369)-π/2
    2×1.14899130571257-π/2
    2.29798261142514-1.57079632675     		φ = 0.72718628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05771603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.306885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72718628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.664705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16685 KachelY 12205 0.05771603 0.72718628 3.306885 41.664705
    Oben rechts KachelX + 1 16686 KachelY 12205 0.05790777 0.72718628 3.317871 41.664705
    Unten links KachelX 16685 KachelY + 1 12206 0.05771603 0.72704303 3.306885 41.656497
    Unten rechts KachelX + 1 16686 KachelY + 1 12206 0.05790777 0.72704303 3.317871 41.656497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72718628-0.72704303) × R
    0.000143249999999928 × 6371000     		dl = 912.645749999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72718628-0.72704303) × R
    0.000143249999999928 × 6371000     		dr = 912.645749999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05771603-0.05790777) × cos(0.72718628) × R
    0.000191739999999996 × 0.747047834519912 × 6371000     		do = 912.575361859473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05771603-0.05790777) × cos(0.72704303) × R
    0.000191739999999996 × 0.747143055198113 × 6371000     		du = 912.691681110864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72718628)-sin(0.72704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747047834519912-0.747143055198113)×R²
    abs(0.05790777-0.05771603)×9.52206782003362e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52206782003362e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52206782003362e-05×40589641000000     		ar = 832911.106115244m²