Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16680 / 49817
↖ ↑ ↗
← N 39.586641°
W134.187012°		 ← 235.38 m → N 39.586641°
W134.184265°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
N 39.584524°
W134.187012°		 ← 235.39 m →
55 396 m²		 N 39.584524°
W134.184265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127262115478516 y=0.380077362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127262115478516 × 217)
    floor (0.127262115478516 × 131072)
    floor (16680.5)     		tx = 16680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380077362060547 × 217)
    floor (0.380077362060547 × 131072)
    floor (49817.5)     		ty = 49817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16680 / 49817 ti = "17/16680/49817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16680/49817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16680 ÷ 217
    16680 ÷ 131072     		x = 0.12725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49817 ÷ 217
    49817 ÷ 131072     		y = 0.380073547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.7454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34200517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380073547363281 × 2 - 1) × π
    0.239852905273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.753520125127663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34200517} λ = -2.34200517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753520125127663))-π/2
    2×atan(2.12446525314111)-π/2
    2×1.13085677272944-π/2
    2.26171354545888-1.57079632675     		φ = 0.69091722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34200517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69091722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.586641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16680 KachelY 49817 -2.34200517 0.69091722 -134.187012 39.586641
    Oben rechts KachelX + 1 16681 KachelY 49817 -2.34195723 0.69091722 -134.184265 39.586641
    Unten links KachelX 16680 KachelY + 1 49818 -2.34200517 0.69088028 -134.187012 39.584524
    Unten rechts KachelX + 1 16681 KachelY + 1 49818 -2.34195723 0.69088028 -134.184265 39.584524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69091722-0.69088028) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dl = 235.344739999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69091722-0.69088028) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dr = 235.344739999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34200517--2.34195723) × cos(0.69091722) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.770661846022961 × 6371000     		do = 235.379964613355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34200517--2.34195723) × cos(0.69088028) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.770685385302203 × 6371000     		du = 235.387154115137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69091722)-sin(0.69088028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770661846022961-0.770685385302203)×R²
    abs(-2.34195723--2.34200517)×2.35392792425904e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.35392792425904e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.35392792425904e-05×40589641000000     		ar = 55396.2825851504m²