Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16679 / 49710
↖ ↑ ↗
← N 39.812756°
W134.189758°		 ← 234.56 m → N 39.812756°
W134.187012°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
N 39.810646°
W134.189758°		 ← 234.57 m →
55 024 m²		 N 39.810646°
W134.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127254486083984 y=0.379261016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127254486083984 × 217)
    floor (0.127254486083984 × 131072)
    floor (16679.5)     		tx = 16679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379261016845703 × 217)
    floor (0.379261016845703 × 131072)
    floor (49710.5)     		ty = 49710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16679 / 49710 ti = "17/16679/49710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16679/49710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16679 ÷ 217
    16679 ÷ 131072     		x = 0.127250671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49710 ÷ 217
    49710 ÷ 131072     		y = 0.379257202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127250671386719 × 2 - 1) × π
    -0.745498657226562 × 3.1415926535     		Λ = -2.34205310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379257202148438 × 2 - 1) × π
    0.241485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.758649373387009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34205310} λ = -2.34205310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758649373387009))-π/2
    2×atan(2.13539015716319)-π/2
    2×1.13282999897823-π/2
    2.26565999795646-1.57079632675     		φ = 0.69486367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34205310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.189758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69486367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.812756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16679 KachelY 49710 -2.34205310 0.69486367 -134.189758 39.812756
    Oben rechts KachelX + 1 16680 KachelY 49710 -2.34200517 0.69486367 -134.187012 39.812756
    Unten links KachelX 16679 KachelY + 1 49711 -2.34205310 0.69482685 -134.189758 39.810646
    Unten rechts KachelX + 1 16680 KachelY + 1 49711 -2.34200517 0.69482685 -134.187012 39.810646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69486367-0.69482685) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dl = 234.580220000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69486367-0.69482685) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dr = 234.580220000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34205310--2.34200517) × cos(0.69486367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768140998401297 × 6371000     		do = 234.56109459819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34205310--2.34200517) × cos(0.69482685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76816457301689 × 6371000     		du = 234.568293390664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69486367)-sin(0.69482685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768140998401297-0.76816457301689)×R²
    abs(-2.34200517--2.34205310)×2.35746155934358e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35746155934358e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35746155934358e-05×40589641000000     		ar = 55024.2375277234m²