Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16677 / 12222
↖ ↑ ↗
← N 41.525030°
E  3.218994°		 ← 914.55 m → N 41.525030°
E  3.229980°		 →
↑
914.68 m
↓
↑
914.68 m
↓
N 41.516804°
E  3.218994°		 ← 914.67 m →
836 580 m²		 N 41.516804°
E  3.229980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508956909179688 y=0.373001098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508956909179688 × 215)
    floor (0.508956909179688 × 32768)
    floor (16677.5)     		tx = 16677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373001098632812 × 215)
    floor (0.373001098632812 × 32768)
    floor (12222.5)     		ty = 12222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16677 / 12222 ti = "15/16677/12222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16677/12222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16677 ÷ 215
    16677 ÷ 32768     		x = 0.508941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12222 ÷ 215
    12222 ÷ 32768     		y = 0.37298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508941650390625 × 2 - 1) × π
    0.01788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05618205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.798053504874695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05618205} λ = 0.05618205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.798053504874695))-π/2
    2×atan(2.22121313730266)-π/2
    2×1.14777240740942-π/2
    2.29554481481884-1.57079632675     		φ = 0.72474849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05618205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.218994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72474849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.525030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16677 KachelY 12222 0.05618205 0.72474849 3.218994 41.525030
    Oben rechts KachelX + 1 16678 KachelY 12222 0.05637379 0.72474849 3.229980 41.525030
    Unten links KachelX 16677 KachelY + 1 12223 0.05618205 0.72460492 3.218994 41.516804
    Unten rechts KachelX + 1 16678 KachelY + 1 12223 0.05637379 0.72460492 3.229980 41.516804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72474849-0.72460492) × R
    0.000143569999999982 × 6371000     		dl = 914.684469999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72474849-0.72460492) × R
    0.000143569999999982 × 6371000     		dr = 914.684469999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05618205-0.05637379) × cos(0.72474849) × R
    0.000191740000000003 × 0.748666183485572 × 6371000     		do = 914.55229737114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05618205-0.05637379) × cos(0.72460492) × R
    0.000191740000000003 × 0.748761355094071 × 6371000     		du = 914.668556680185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72474849)-sin(0.72460492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748666183485572-0.748761355094071)×R²
    abs(0.05637379-0.05618205)×9.5171608499145e-05×R²
    0.000191740000000003×9.5171608499145e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.5171608499145e-05×40589641000000     		ar = 836579.955136816m²