Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16672 / 50080
↖ ↑ ↗
← N 39.027719°
W134.208984°		 ← 237.22 m → N 39.027719°
W134.206238°		 →
↑
237.26 m
↓
↑
237.26 m
↓
N 39.025585°
W134.208984°		 ← 237.23 m →
56 282 m²		 N 39.025585°
W134.206238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127201080322266 y=0.382083892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127201080322266 × 217)
    floor (0.127201080322266 × 131072)
    floor (16672.5)     		tx = 16672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382083892822266 × 217)
    floor (0.382083892822266 × 131072)
    floor (50080.5)     		ty = 50080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16672 / 50080 ti = "17/16672/50080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16672/50080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16672 ÷ 217
    16672 ÷ 131072     		x = 0.127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50080 ÷ 217
    50080 ÷ 131072     		y = 0.382080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.74560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34238866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382080078125 × 2 - 1) × π
    0.23583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.740912720527588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34238866} λ = -2.34238866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740912720527588))-π/2
    2×atan(2.09784939114733)-π/2
    2×1.12597926004138-π/2
    2.25195852008276-1.57079632675     		φ = 0.68116219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34238866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.208984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68116219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.027719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16672 KachelY 50080 -2.34238866 0.68116219 -134.208984 39.027719
    Oben rechts KachelX + 1 16673 KachelY 50080 -2.34234073 0.68116219 -134.206238 39.027719
    Unten links KachelX 16672 KachelY + 1 50081 -2.34238866 0.68112495 -134.208984 39.025585
    Unten rechts KachelX + 1 16673 KachelY + 1 50081 -2.34234073 0.68112495 -134.206238 39.025585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68116219-0.68112495) × R
    3.72400000000495e-05 × 6371000     		dl = 237.256040000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68116219-0.68112495) × R
    3.72400000000495e-05 × 6371000     		dr = 237.256040000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34238866--2.34234073) × cos(0.68116219) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776841416822776 × 6371000     		do = 237.217872029224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34238866--2.34234073) × cos(0.68112495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.776864866173807 × 6371000     		du = 237.225032570657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68116219)-sin(0.68112495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776841416822776-0.776864866173807)×R²
    abs(-2.34234073--2.34238866)×2.34493510316014e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34493510316014e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34493510316014e-05×40589641000000     		ar = 56282.2223823551m²