Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16667 / 49833
↖ ↑ ↗
← N 39.552765°
W134.222717°		 ← 235.49 m → N 39.552765°
W134.219971°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
N 39.550647°
W134.222717°		 ← 235.50 m →
55 453 m²		 N 39.550647°
W134.219971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127162933349609 y=0.380199432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127162933349609 × 217)
    floor (0.127162933349609 × 131072)
    floor (16667.5)     		tx = 16667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380199432373047 × 217)
    floor (0.380199432373047 × 131072)
    floor (49833.5)     		ty = 49833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16667 / 49833 ti = "17/16667/49833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16667/49833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16667 ÷ 217
    16667 ÷ 131072     		x = 0.127159118652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49833 ÷ 217
    49833 ÷ 131072     		y = 0.380195617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127159118652344 × 2 - 1) × π
    -0.745681762695312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34262835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380195617675781 × 2 - 1) × π
    0.239608764648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.752753134733742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34262835} λ = -2.34262835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752753134733742))-π/2
    2×atan(2.12283643342412)-π/2
    2×1.13056115539278-π/2
    2.26112231078556-1.57079632675     		φ = 0.69032598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34262835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.222717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69032598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.552765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16667 KachelY 49833 -2.34262835 0.69032598 -134.222717 39.552765
    Oben rechts KachelX + 1 16668 KachelY 49833 -2.34258041 0.69032598 -134.219971 39.552765
    Unten links KachelX 16667 KachelY + 1 49834 -2.34262835 0.69028902 -134.222717 39.550647
    Unten rechts KachelX + 1 16668 KachelY + 1 49834 -2.34258041 0.69028902 -134.219971 39.550647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69032598-0.69028902) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69032598-0.69028902) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34262835--2.34258041) × cos(0.69032598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771038475632679 × 6371000     		do = 235.494996988428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34262835--2.34258041) × cos(0.69028902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771062010811185 × 6371000     		du = 235.50218523774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69032598)-sin(0.69028902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771038475632679-0.771062010811185)×R²
    abs(-2.34258041--2.34262835)×2.35351785062843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35351785062843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35351785062843e-05×40589641000000     		ar = 55453.3619325627m²