Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16666 / 49832
↖ ↑ ↗
← N 39.554883°
W134.225464°		 ← 235.44 m → N 39.554883°
W134.222717°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
N 39.552765°
W134.225464°		 ← 235.45 m →
55 440 m²		 N 39.552765°
W134.222717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127155303955078 y=0.380191802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127155303955078 × 217)
    floor (0.127155303955078 × 131072)
    floor (16666.5)     		tx = 16666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380191802978516 × 217)
    floor (0.380191802978516 × 131072)
    floor (49832.5)     		ty = 49832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16666 / 49832 ti = "17/16666/49832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16666/49832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16666 ÷ 217
    16666 ÷ 131072     		x = 0.127151489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49832 ÷ 217
    49832 ÷ 131072     		y = 0.38018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127151489257812 × 2 - 1) × π
    -0.745697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34267628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38018798828125 × 2 - 1) × π
    0.2396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.752801071633362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34267628} λ = -2.34267628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752801071633362))-π/2
    2×atan(2.12293819806026)-π/2
    2×1.13057963570766-π/2
    2.26115927141531-1.57079632675     		φ = 0.69036294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34267628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.225464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69036294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.554883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16666 KachelY 49832 -2.34267628 0.69036294 -134.225464 39.554883
    Oben rechts KachelX + 1 16667 KachelY 49832 -2.34262835 0.69036294 -134.222717 39.554883
    Unten links KachelX 16666 KachelY + 1 49833 -2.34267628 0.69032598 -134.225464 39.552765
    Unten rechts KachelX + 1 16667 KachelY + 1 49833 -2.34262835 0.69032598 -134.222717 39.552765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69036294-0.69032598) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69036294-0.69032598) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34267628--2.34262835) × cos(0.69036294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771014939400902 × 6371000     		do = 235.438687055931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34267628--2.34262835) × cos(0.69032598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771038475632679 × 6371000     		du = 235.445874127444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69036294)-sin(0.69032598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771014939400902-0.771038475632679)×R²
    abs(-2.34262835--2.34267628)×2.35362317769772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35362317769772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35362317769772e-05×40589641000000     		ar = 55440.1023725532m²