Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16665 / 50215
↖ ↑ ↗
← N 38.739088°
W134.228210°		 ← 238.23 m → N 38.739088°
W134.225464°		 →
↑
238.21 m
↓
↑
238.21 m
↓
N 38.736946°
W134.228210°		 ← 238.24 m →
56 751 m²		 N 38.736946°
W134.225464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127147674560547 y=0.383113861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127147674560547 × 217)
    floor (0.127147674560547 × 131072)
    floor (16665.5)     		tx = 16665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383113861083984 × 217)
    floor (0.383113861083984 × 131072)
    floor (50215.5)     		ty = 50215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16665 / 50215 ti = "17/16665/50215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16665/50215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16665 ÷ 217
    16665 ÷ 131072     		x = 0.127143859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50215 ÷ 217
    50215 ÷ 131072     		y = 0.383110046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127143859863281 × 2 - 1) × π
    -0.745712280273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34272422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383110046386719 × 2 - 1) × π
    0.233779907226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.73444123907888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34272422} λ = -2.34272422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.73444123907888))-π/2
    2×atan(2.08431703216338)-π/2
    2×1.12346048465528-π/2
    2.24692096931055-1.57079632675     		φ = 0.67612464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34272422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.228210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67612464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.739088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16665 KachelY 50215 -2.34272422 0.67612464 -134.228210 38.739088
    Oben rechts KachelX + 1 16666 KachelY 50215 -2.34267628 0.67612464 -134.225464 38.739088
    Unten links KachelX 16665 KachelY + 1 50216 -2.34272422 0.67608725 -134.228210 38.736946
    Unten rechts KachelX + 1 16666 KachelY + 1 50216 -2.34267628 0.67608725 -134.225464 38.736946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67612464-0.67608725) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dl = 238.211690000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67612464-0.67608725) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dr = 238.211690000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34272422--2.34267628) × cos(0.67612464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780003673037381 × 6371000     		do = 238.233199040004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34272422--2.34267628) × cos(0.67608725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780027070216991 × 6371000     		du = 238.2403451409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67612464)-sin(0.67608725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780003673037381-0.780027070216991)×R²
    abs(-2.34267628--2.34272422)×2.33971796100851e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33971796100851e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33971796100851e-05×40589641000000     		ar = 56750.7841062669m²