Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16665 / 49834
↖ ↑ ↗
← N 39.550647°
W134.228210°		 ← 235.50 m → N 39.550647°
W134.225464°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
N 39.548530°
W134.228210°		 ← 235.51 m →
55 455 m²		 N 39.548530°
W134.225464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127147674560547 y=0.380207061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127147674560547 × 217)
    floor (0.127147674560547 × 131072)
    floor (16665.5)     		tx = 16665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380207061767578 × 217)
    floor (0.380207061767578 × 131072)
    floor (49834.5)     		ty = 49834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16665 / 49834 ti = "17/16665/49834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16665/49834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16665 ÷ 217
    16665 ÷ 131072     		x = 0.127143859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49834 ÷ 217
    49834 ÷ 131072     		y = 0.380203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127143859863281 × 2 - 1) × π
    -0.745712280273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34272422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380203247070312 × 2 - 1) × π
    0.239593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.752705197834122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34272422} λ = -2.34272422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752705197834122))-π/2
    2×atan(2.12273467366614)-π/2
    2×1.13054267451377-π/2
    2.26108534902754-1.57079632675     		φ = 0.69028902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34272422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.228210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69028902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.550647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16665 KachelY 49834 -2.34272422 0.69028902 -134.228210 39.550647
    Oben rechts KachelX + 1 16666 KachelY 49834 -2.34267628 0.69028902 -134.225464 39.550647
    Unten links KachelX 16665 KachelY + 1 49835 -2.34272422 0.69025206 -134.228210 39.548530
    Unten rechts KachelX + 1 16666 KachelY + 1 49835 -2.34267628 0.69025206 -134.225464 39.548530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69028902-0.69025206) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dl = 235.472160000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69028902-0.69025206) × R
    3.69600000000858e-05 × 6371000     		dr = 235.472160000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34272422--2.34267628) × cos(0.69028902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771062010811185 × 6371000     		do = 235.50218523774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34272422--2.34267628) × cos(0.69025206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771085544936389 × 6371000     		du = 235.509373165345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69028902)-sin(0.69025206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771062010811185-0.771085544936389)×R²
    abs(-2.34267628--2.34272422)×2.3534125203728e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3534125203728e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3534125203728e-05×40589641000000     		ar = 55455.054527538m²