Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16664 / 16860
↖ ↑ ↗
← N 78.922942°
W134.230957°		 ← 58.68 m → N 78.922942°
W134.228210°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.922415°
W134.230957°		 ← 58.68 m →
3 443 m²		 N 78.922415°
W134.228210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127140045166016 y=0.128635406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127140045166016 × 217)
    floor (0.127140045166016 × 131072)
    floor (16664.5)     		tx = 16664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128635406494141 × 217)
    floor (0.128635406494141 × 131072)
    floor (16860.5)     		ty = 16860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16664 / 16860 ti = "17/16664/16860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16664/16860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16664 ÷ 217
    16664 ÷ 131072     		x = 0.12713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16860 ÷ 217
    16860 ÷ 131072     		y = 0.128631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34277216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128631591796875 × 2 - 1) × π
    0.74273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33337652590585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34277216} λ = -2.34277216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33337652590585))-π/2
    2×atan(10.3127039239183)-π/2
    2×1.47413076539474-π/2
    2.94826153078948-1.57079632675     		φ = 1.37746520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34277216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37746520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.922942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16664 KachelY 16860 -2.34277216 1.37746520 -134.230957 78.922942
    Oben rechts KachelX + 1 16665 KachelY 16860 -2.34272422 1.37746520 -134.228210 78.922942
    Unten links KachelX 16664 KachelY + 1 16861 -2.34277216 1.37745599 -134.230957 78.922415
    Unten rechts KachelX + 1 16665 KachelY + 1 16861 -2.34272422 1.37745599 -134.228210 78.922415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37746520-1.37745599) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37746520-1.37745599) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34277216--2.34272422) × cos(1.37746520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192129021720588 × 6371000     		do = 58.6811486344481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34277216--2.34272422) × cos(1.37745599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192138060127146 × 6371000     		du = 58.6839091964595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37746520)-sin(1.37745599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192129021720588-0.192138060127146)×R²
    abs(-2.34272422--2.34277216)×9.03840655805399e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.03840655805399e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.03840655805399e-06×40589641000000     		ar = 3443.30946779373m²