Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1666 / 359
↖ ↑ ↗
← N 81.427045°
W 33.574219°		 ← 1 456.85 m → N 81.427045°
W 33.486328°		 →
↑
1 457.94 m
↓
↑
1 457.94 m
↓
N 81.413933°
W 33.574219°		 ← 1 459.06 m →
2 125 605 m²		 N 81.413933°
W 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4068603515625 y=0.0877685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4068603515625 × 212)
    floor (0.4068603515625 × 4096)
    floor (1666.5)     		tx = 1666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0877685546875 × 212)
    floor (0.0877685546875 × 4096)
    floor (359.5)     		ty = 359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1666 / 359 ti = "12/1666/359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1666/359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1666 ÷ 212
    1666 ÷ 4096     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 359 ÷ 212
    359 ÷ 4096     		y = 0.087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087646484375 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59089355066479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59089355066479))-π/2
    2×atan(13.3416877525221)-π/2
    2×1.49598318073287-π/2
    2.99196636146574-1.57079632675     		φ = 1.42117003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42117003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.427045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1666 KachelY 359 -0.58598066 1.42117003 -33.574219 81.427045
    Oben rechts KachelX + 1 1667 KachelY 359 -0.58444668 1.42117003 -33.486328 81.427045
    Unten links KachelX 1666 KachelY + 1 360 -0.58598066 1.42094119 -33.574219 81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 1667 KachelY + 1 360 -0.58444668 1.42094119 -33.486328 81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42117003-1.42094119) × R
    0.000228840000000119 × 6371000     		dl = 1457.93964000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42117003-1.42094119) × R
    0.000228840000000119 × 6371000     		dr = 1457.93964000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58444668) × cos(1.42117003) × R
    0.00153398000000005 × 0.149068615126439 × 6371000     		do = 1456.84557512991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58444668) × cos(1.42094119) × R
    0.00153398000000005 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 1459.05699902946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42117003)-sin(1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149068615126439-0.149294894358631)×R²
    abs(-0.58444668--0.58598066)×0.000226279232192567×R²
    0.00153398000000005×0.000226279232192567×6371000²
    0.00153398000000005×0.000226279232192567×40589641000000     		ar = 2125604.98389818m²