Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16658 / 49778
↖ ↑ ↗
← N 39.669142°
W134.247437°		 ← 235.10 m → N 39.669142°
W134.244690°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
N 39.667028°
W134.247437°		 ← 235.11 m →
55 270 m²		 N 39.667028°
W134.244690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127094268798828 y=0.379779815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127094268798828 × 217)
    floor (0.127094268798828 × 131072)
    floor (16658.5)     		tx = 16658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379779815673828 × 217)
    floor (0.379779815673828 × 131072)
    floor (49778.5)     		ty = 49778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16658 / 49778 ti = "17/16658/49778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16658/49778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16658 ÷ 217
    16658 ÷ 131072     		x = 0.127090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49778 ÷ 217
    49778 ÷ 131072     		y = 0.379776000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.745819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34305978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379776000976562 × 2 - 1) × π
    0.240447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.755389664212845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34305978} λ = -2.34305978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755389664212845))-π/2
    2×atan(2.12844073897212)-π/2
    2×1.13157673475285-π/2
    2.2631534695057-1.57079632675     		φ = 0.69235714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34305978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.247437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69235714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.669142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16658 KachelY 49778 -2.34305978 0.69235714 -134.247437 39.669142
    Oben rechts KachelX + 1 16659 KachelY 49778 -2.34301184 0.69235714 -134.244690 39.669142
    Unten links KachelX 16658 KachelY + 1 49779 -2.34305978 0.69232024 -134.247437 39.667028
    Unten rechts KachelX + 1 16659 KachelY + 1 49779 -2.34301184 0.69232024 -134.244690 39.667028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69235714-0.69232024) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69235714-0.69232024) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34305978--2.34301184) × cos(0.69235714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769743466570345 × 6371000     		do = 235.099467887259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34305978--2.34301184) × cos(0.69232024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7697670212848 × 6371000     		du = 235.106662103352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69235714)-sin(0.69232024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769743466570345-0.7697670212848)×R²
    abs(-2.34301184--2.34305978)×2.35547144550319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35547144550319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35547144550319e-05×40589641000000     		ar = 55270.3560456529m²