Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16657 / 50067
↖ ↑ ↗
← N 39.055451°
W134.250183°		 ← 237.17 m → N 39.055451°
W134.247437°		 →
↑
237.19 m
↓
↑
237.19 m
↓
N 39.053318°
W134.250183°		 ← 237.18 m →
56 257 m²		 N 39.053318°
W134.247437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127086639404297 y=0.381984710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127086639404297 × 217)
    floor (0.127086639404297 × 131072)
    floor (16657.5)     		tx = 16657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381984710693359 × 217)
    floor (0.381984710693359 × 131072)
    floor (50067.5)     		ty = 50067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16657 / 50067 ti = "17/16657/50067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16657/50067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16657 ÷ 217
    16657 ÷ 131072     		x = 0.127082824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50067 ÷ 217
    50067 ÷ 131072     		y = 0.381980895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127082824707031 × 2 - 1) × π
    -0.745834350585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.34310772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381980895996094 × 2 - 1) × π
    0.236038208007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.741535900222649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34310772} λ = -2.34310772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741535900222649))-π/2
    2×atan(2.09915713572881)-π/2
    2×1.12622126844307-π/2
    2.25244253688613-1.57079632675     		φ = 0.68164621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34310772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.250183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68164621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.055451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16657 KachelY 50067 -2.34310772 0.68164621 -134.250183 39.055451
    Oben rechts KachelX + 1 16658 KachelY 50067 -2.34305978 0.68164621 -134.247437 39.055451
    Unten links KachelX 16657 KachelY + 1 50068 -2.34310772 0.68160898 -134.250183 39.053318
    Unten rechts KachelX + 1 16658 KachelY + 1 50068 -2.34305978 0.68160898 -134.247437 39.053318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68164621-0.68160898) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dl = 237.192329999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68164621-0.68160898) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dr = 237.192329999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34310772--2.34305978) × cos(0.68164621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776536540240732 × 6371000     		do = 237.17424743991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34310772--2.34305978) × cos(0.68160898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776559997291287 × 6371000     		du = 237.181411826934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68164621)-sin(0.68160898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776536540240732-0.776559997291287)×R²
    abs(-2.34305978--2.34310772)×2.34570505550646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34570505550646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34570505550646e-05×40589641000000     		ar = 56256.7620415632m²