Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16657 / 50065
↖ ↑ ↗
← N 39.059717°
W134.250183°		 ← 237.16 m → N 39.059717°
W134.247437°		 →
↑
237.19 m
↓
↑
237.19 m
↓
N 39.057584°
W134.250183°		 ← 237.17 m →
56 253 m²		 N 39.057584°
W134.247437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127086639404297 y=0.381969451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127086639404297 × 217)
    floor (0.127086639404297 × 131072)
    floor (16657.5)     		tx = 16657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381969451904297 × 217)
    floor (0.381969451904297 × 131072)
    floor (50065.5)     		ty = 50065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16657 / 50065 ti = "17/16657/50065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16657/50065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16657 ÷ 217
    16657 ÷ 131072     		x = 0.127082824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50065 ÷ 217
    50065 ÷ 131072     		y = 0.381965637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127082824707031 × 2 - 1) × π
    -0.745834350585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.34310772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381965637207031 × 2 - 1) × π
    0.236068725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.741631774021889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34310772} λ = -2.34310772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741631774021889))-π/2
    2×atan(2.09935839954642)-π/2
    2×1.12625849207291-π/2
    2.25251698414581-1.57079632675     		φ = 0.68172066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34310772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.250183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68172066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.059717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16657 KachelY 50065 -2.34310772 0.68172066 -134.250183 39.059717
    Oben rechts KachelX + 1 16658 KachelY 50065 -2.34305978 0.68172066 -134.247437 39.059717
    Unten links KachelX 16657 KachelY + 1 50066 -2.34310772 0.68168343 -134.250183 39.057584
    Unten rechts KachelX + 1 16658 KachelY + 1 50066 -2.34305978 0.68168343 -134.247437 39.057584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68172066-0.68168343) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dl = 237.192329999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68172066-0.68168343) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dr = 237.192329999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34310772--2.34305978) × cos(0.68172066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776489629211946 × 6371000     		do = 237.159919604229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34310772--2.34305978) × cos(0.68168343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776513088414852 × 6371000     		du = 237.167084648636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68172066)-sin(0.68168343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776489629211946-0.776513088414852)×R²
    abs(-2.34305978--2.34310772)×2.34592029059177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34592029059177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34592029059177e-05×40589641000000     		ar = 56253.3636670163m²