Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16656 / 50256
↖ ↑ ↗
← N 38.651198°
W134.252929°		 ← 238.48 m → N 38.651198°
W134.250183°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
N 38.649053°
W134.252929°		 ← 238.48 m →
56 885 m²		 N 38.649053°
W134.250183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127079010009766 y=0.383426666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127079010009766 × 217)
    floor (0.127079010009766 × 131072)
    floor (16656.5)     		tx = 16656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383426666259766 × 217)
    floor (0.383426666259766 × 131072)
    floor (50256.5)     		ty = 50256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16656 / 50256 ti = "17/16656/50256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16656/50256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16656 ÷ 217
    16656 ÷ 131072     		x = 0.1270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50256 ÷ 217
    50256 ÷ 131072     		y = 0.3834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34315565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3834228515625 × 2 - 1) × π
    0.233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.732475826194458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34315565} λ = -2.34315565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.732475826194458))-π/2
    2×atan(2.08022451167679)-π/2
    2×1.12269349875926-π/2
    2.24538699751851-1.57079632675     		φ = 0.67459067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34315565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.252929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67459067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.651198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16656 KachelY 50256 -2.34315565 0.67459067 -134.252929 38.651198
    Oben rechts KachelX + 1 16657 KachelY 50256 -2.34310772 0.67459067 -134.250183 38.651198
    Unten links KachelX 16656 KachelY + 1 50257 -2.34315565 0.67455323 -134.252929 38.649053
    Unten rechts KachelX + 1 16657 KachelY + 1 50257 -2.34310772 0.67455323 -134.250183 38.649053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67459067-0.67455323) × R
    3.74399999999442e-05 × 6371000     		dl = 238.530239999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67459067-0.67455323) × R
    3.74399999999442e-05 × 6371000     		dr = 238.530239999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34315565--2.34310772) × cos(0.67459067) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780962674939827 × 6371000     		do = 238.476347774002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34315565--2.34310772) × cos(0.67455323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780986058581461 × 6371000     		du = 238.48348825028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67459067)-sin(0.67455323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780962674939827-0.780986058581461)×R²
    abs(-2.34310772--2.34315565)×2.33836416343447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33836416343447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33836416343447e-05×40589641000000     		ar = 56884.6720851758m²