Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16656 / 50034
↖ ↑ ↗
← N 39.125799°
W134.252929°		 ← 236.89 m → N 39.125799°
W134.250183°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 39.123668°
W134.252929°		 ← 236.90 m →
56 113 m²		 N 39.123668°
W134.250183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127079010009766 y=0.381732940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127079010009766 × 217)
    floor (0.127079010009766 × 131072)
    floor (16656.5)     		tx = 16656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381732940673828 × 217)
    floor (0.381732940673828 × 131072)
    floor (50034.5)     		ty = 50034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16656 / 50034 ti = "17/16656/50034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16656/50034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16656 ÷ 217
    16656 ÷ 131072     		x = 0.1270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50034 ÷ 217
    50034 ÷ 131072     		y = 0.381729125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34315565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381729125976562 × 2 - 1) × π
    0.236541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.74311781791011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34315565} λ = -2.34315565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74311781791011))-π/2
    2×atan(2.10248045744824)-π/2
    2×1.12683517073674-π/2
    2.25367034147348-1.57079632675     		φ = 0.68287401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34315565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.252929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68287401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.125799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16656 KachelY 50034 -2.34315565 0.68287401 -134.252929 39.125799
    Oben rechts KachelX + 1 16657 KachelY 50034 -2.34310772 0.68287401 -134.250183 39.125799
    Unten links KachelX 16656 KachelY + 1 50035 -2.34315565 0.68283683 -134.252929 39.123668
    Unten rechts KachelX + 1 16657 KachelY + 1 50035 -2.34310772 0.68283683 -134.250183 39.123668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68287401-0.68283683) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68287401-0.68283683) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34315565--2.34310772) × cos(0.68287401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775762352452545 × 6371000     		do = 236.88836674263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34315565--2.34310772) × cos(0.68283683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775785813432388 × 6371000     		du = 236.89553083506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68287401)-sin(0.68283683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775762352452545-0.775785813432388)×R²
    abs(-2.34310772--2.34315565)×2.34609798430707e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34609798430707e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34609798430707e-05×40589641000000     		ar = 56113.4913677892m²