Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16654 / 16123
↖ ↑ ↗
← N 79.305188°
W134.258423°		 ← 56.68 m → N 79.305188°
W134.255676°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.304679°
W134.258423°		 ← 56.68 m →
3 210 m²		 N 79.304679°
W134.255676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127063751220703 y=0.123012542724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127063751220703 × 217)
    floor (0.127063751220703 × 131072)
    floor (16654.5)     		tx = 16654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123012542724609 × 217)
    floor (0.123012542724609 × 131072)
    floor (16123.5)     		ty = 16123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16654 / 16123 ti = "17/16654/16123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16654/16123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16654 ÷ 217
    16654 ÷ 131072     		x = 0.127059936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16123 ÷ 217
    16123 ÷ 131072     		y = 0.123008728027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127059936523438 × 2 - 1) × π
    -0.745880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34325153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123008728027344 × 2 - 1) × π
    0.753982543945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36870602092583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34325153} λ = -2.34325153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36870602092583))-π/2
    2×atan(10.6835590342454)-π/2
    2×1.4774664895018-π/2
    2.9549329790036-1.57079632675     		φ = 1.38413665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34325153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.258423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38413665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.305188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16654 KachelY 16123 -2.34325153 1.38413665 -134.258423 79.305188
    Oben rechts KachelX + 1 16655 KachelY 16123 -2.34320359 1.38413665 -134.255676 79.305188
    Unten links KachelX 16654 KachelY + 1 16124 -2.34325153 1.38412776 -134.258423 79.304679
    Unten rechts KachelX + 1 16655 KachelY + 1 16124 -2.34320359 1.38412776 -134.255676 79.304679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38413665-1.38412776) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38413665-1.38412776) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34325153--2.34320359) × cos(1.38413665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185577635922345 × 6371000     		do = 56.6801867789956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34325153--2.34320359) × cos(1.38412776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185586371492202 × 6371000     		du = 56.6828548468835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38413665)-sin(1.38412776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185577635922345-0.185586371492202)×R²
    abs(-2.34320359--2.34325153)×8.7355698570879e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7355698570879e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7355698570879e-06×40589641000000     		ar = 3210.33874529956m²