Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16649 / 50183
↖ ↑ ↗
← N 38.807611°
W134.272156°		 ← 238 m → N 38.807611°
W134.269409°		 →
↑
238.02 m
↓
↑
238.02 m
↓
N 38.805470°
W134.272156°		 ← 238.01 m →
56 651 m²		 N 38.805470°
W134.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127025604248047 y=0.382869720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127025604248047 × 217)
    floor (0.127025604248047 × 131072)
    floor (16649.5)     		tx = 16649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382869720458984 × 217)
    floor (0.382869720458984 × 131072)
    floor (50183.5)     		ty = 50183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16649 / 50183 ti = "17/16649/50183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16649/50183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16649 ÷ 217
    16649 ÷ 131072     		x = 0.127021789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50183 ÷ 217
    50183 ÷ 131072     		y = 0.382865905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127021789550781 × 2 - 1) × π
    -0.745956420898438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34349121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382865905761719 × 2 - 1) × π
    0.234268188476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.735975219866722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34349121} λ = -2.34349121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735975219866722))-π/2
    2×atan(2.08751678800104)-π/2
    2×1.12405845278715-π/2
    2.24811690557431-1.57079632675     		φ = 0.67732058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34349121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.272156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67732058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.807611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16649 KachelY 50183 -2.34349121 0.67732058 -134.272156 38.807611
    Oben rechts KachelX + 1 16650 KachelY 50183 -2.34344327 0.67732058 -134.269409 38.807611
    Unten links KachelX 16649 KachelY + 1 50184 -2.34349121 0.67728322 -134.272156 38.805470
    Unten rechts KachelX + 1 16650 KachelY + 1 50184 -2.34344327 0.67728322 -134.269409 38.805470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67732058-0.67728322) × R
    3.73599999999863e-05 × 6371000     		dl = 238.020559999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67732058-0.67728322) × R
    3.73599999999863e-05 × 6371000     		dr = 238.020559999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34349121--2.34344327) × cos(0.67732058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779254726130449 × 6371000     		do = 238.004451376734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34349121--2.34344327) × cos(0.67728322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779278139372293 × 6371000     		du = 238.01160238345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67732058)-sin(0.67728322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779254726130449-0.779278139372293)×R²
    abs(-2.34344327--2.34349121)×2.34132418442945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34132418442945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34132418442945e-05×40589641000000     		ar = 56650.8038490661m²