Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16638 / 16124
↖ ↑ ↗
← N 79.304679°
W134.302368°		 ← 56.68 m → N 79.304679°
W134.299622°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.304169°
W134.302368°		 ← 56.69 m →
3 214 m²		 N 79.304169°
W134.299622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126941680908203 y=0.123020172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126941680908203 × 217)
    floor (0.126941680908203 × 131072)
    floor (16638.5)     		tx = 16638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123020172119141 × 217)
    floor (0.123020172119141 × 131072)
    floor (16124.5)     		ty = 16124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16638 / 16124 ti = "17/16638/16124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16638/16124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16638 ÷ 217
    16638 ÷ 131072     		x = 0.126937866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16124 ÷ 217
    16124 ÷ 131072     		y = 0.123016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126937866210938 × 2 - 1) × π
    -0.746124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34401852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123016357421875 × 2 - 1) × π
    0.75396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36865808402621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34401852} λ = -2.34401852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36865808402621))-π/2
    2×atan(10.6830469098233)-π/2
    2×1.47746204138884-π/2
    2.95492408277768-1.57079632675     		φ = 1.38412776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34401852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.302368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38412776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.304679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16638 KachelY 16124 -2.34401852 1.38412776 -134.302368 79.304679
    Oben rechts KachelX + 1 16639 KachelY 16124 -2.34397058 1.38412776 -134.299622 79.304679
    Unten links KachelX 16638 KachelY + 1 16125 -2.34401852 1.38411886 -134.302368 79.304169
    Unten rechts KachelX + 1 16639 KachelY + 1 16125 -2.34397058 1.38411886 -134.299622 79.304169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38412776-1.38411886) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38412776-1.38411886) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34401852--2.34397058) × cos(1.38412776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185586371492202 × 6371000     		do = 56.6828548468835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34401852--2.34397058) × cos(1.38411886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185595116873654 × 6371000     		du = 56.6855259114852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38412776)-sin(1.38411886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185586371492202-0.185595116873654)×R²
    abs(-2.34397058--2.34401852)×8.74538145259618e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74538145259618e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74538145259618e-06×40589641000000     		ar = 3214.10129447173m²