Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16635 / 16886
↖ ↑ ↗
← N 78.909214°
W134.310608°		 ← 58.75 m → N 78.909214°
W134.307861°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.908685°
W134.310608°		 ← 58.76 m →
3 455 m²		 N 78.908685°
W134.307861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126918792724609 y=0.128833770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126918792724609 × 217)
    floor (0.126918792724609 × 131072)
    floor (16635.5)     		tx = 16635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128833770751953 × 217)
    floor (0.128833770751953 × 131072)
    floor (16886.5)     		ty = 16886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16635 / 16886 ti = "17/16635/16886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16635/16886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16635 ÷ 217
    16635 ÷ 131072     		x = 0.126914978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16886 ÷ 217
    16886 ÷ 131072     		y = 0.128829956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126914978027344 × 2 - 1) × π
    -0.746170043945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34416233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128829956054688 × 2 - 1) × π
    0.742340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33213016651573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34416233} λ = -2.34416233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33213016651573))-π/2
    2×atan(10.2998585951561)-π/2
    2×1.47401096123951-π/2
    2.94802192247902-1.57079632675     		φ = 1.37722560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34416233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.310608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37722560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.909214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16635 KachelY 16886 -2.34416233 1.37722560 -134.310608 78.909214
    Oben rechts KachelX + 1 16636 KachelY 16886 -2.34411439 1.37722560 -134.307861 78.909214
    Unten links KachelX 16635 KachelY + 1 16887 -2.34416233 1.37721637 -134.310608 78.908685
    Unten rechts KachelX + 1 16636 KachelY + 1 16887 -2.34411439 1.37721637 -134.307861 78.908685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37722560-1.37721637) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37722560-1.37721637) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34416233--2.34411439) × cos(1.37722560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192364152377582 × 6371000     		do = 58.7529635893571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34416233--2.34411439) × cos(1.37721637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192373209986333 × 6371000     		du = 58.7557300162126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37722560)-sin(1.37721637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192364152377582-0.192373209986333)×R²
    abs(-2.34411439--2.34416233)×9.05760875133388e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.05760875133388e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.05760875133388e-06×40589641000000     		ar = 3455.00999841019m²