Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16635 / 16885
↖ ↑ ↗
← N 78.909743°
W134.310608°		 ← 58.75 m → N 78.909743°
W134.307861°		 →
↑
58.74 m
↓
↑
58.74 m
↓
N 78.909214°
W134.310608°		 ← 58.75 m →
3 451 m²		 N 78.909214°
W134.307861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126918792724609 y=0.128826141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126918792724609 × 217)
    floor (0.126918792724609 × 131072)
    floor (16635.5)     		tx = 16635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128826141357422 × 217)
    floor (0.128826141357422 × 131072)
    floor (16885.5)     		ty = 16885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16635 / 16885 ti = "17/16635/16885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16635/16885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16635 ÷ 217
    16635 ÷ 131072     		x = 0.126914978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16885 ÷ 217
    16885 ÷ 131072     		y = 0.128822326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126914978027344 × 2 - 1) × π
    -0.746170043945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34416233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128822326660156 × 2 - 1) × π
    0.742355346679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.33217810341535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34416233} λ = -2.34416233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33217810341535))-π/2
    2×atan(10.3003523502781)-π/2
    2×1.4740155718017-π/2
    2.94803114360339-1.57079632675     		φ = 1.37723482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34416233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.310608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37723482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.909743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16635 KachelY 16885 -2.34416233 1.37723482 -134.310608 78.909743
    Oben rechts KachelX + 1 16636 KachelY 16885 -2.34411439 1.37723482 -134.307861 78.909743
    Unten links KachelX 16635 KachelY + 1 16886 -2.34416233 1.37722560 -134.310608 78.909214
    Unten rechts KachelX + 1 16636 KachelY + 1 16886 -2.34411439 1.37722560 -134.307861 78.909214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37723482-1.37722560) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dl = 58.7406199994964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37723482-1.37722560) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dr = 58.7406199994964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34416233--2.34411439) × cos(1.37723482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192355104565696 × 6371000     		do = 58.7502001547166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34416233--2.34411439) × cos(1.37722560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192364152377582 × 6371000     		du = 58.7529635893571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37723482)-sin(1.37722560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192355104565696-0.192364152377582)×R²
    abs(-2.34411439--2.34416233)×9.04781188534876e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.04781188534876e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.04781188534876e-06×40589641000000     		ar = 3451.10434527498m²