Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16633 / 49851
↖ ↑ ↗
← N 39.514636°
W134.316101°		 ← 235.58 m → N 39.514636°
W134.313355°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
N 39.512517°
W134.316101°		 ← 235.58 m →
55 502 m²		 N 39.512517°
W134.313355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126903533935547 y=0.380336761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126903533935547 × 217)
    floor (0.126903533935547 × 131072)
    floor (16633.5)     		tx = 16633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380336761474609 × 217)
    floor (0.380336761474609 × 131072)
    floor (49851.5)     		ty = 49851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16633 / 49851 ti = "17/16633/49851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16633/49851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16633 ÷ 217
    16633 ÷ 131072     		x = 0.126899719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49851 ÷ 217
    49851 ÷ 131072     		y = 0.380332946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126899719238281 × 2 - 1) × π
    -0.746200561523438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34425820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380332946777344 × 2 - 1) × π
    0.239334106445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.751890270540581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34425820} λ = -2.34425820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.751890270540581))-π/2
    2×atan(2.12100550391313)-π/2
    2×1.13022841326613-π/2
    2.26045682653225-1.57079632675     		φ = 0.68966050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34425820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.316101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68966050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.514636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16633 KachelY 49851 -2.34425820 0.68966050 -134.316101 39.514636
    Oben rechts KachelX + 1 16634 KachelY 49851 -2.34421027 0.68966050 -134.313355 39.514636
    Unten links KachelX 16633 KachelY + 1 49852 -2.34425820 0.68962352 -134.316101 39.512517
    Unten rechts KachelX + 1 16634 KachelY + 1 49852 -2.34421027 0.68962352 -134.313355 39.512517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68966050-0.68962352) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dl = 235.599579999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68966050-0.68962352) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dr = 235.599579999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34425820--2.34421027) × cos(0.68966050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771462074919316 × 6371000     		do = 235.575225265519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34425820--2.34421027) × cos(0.68962352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771485603852687 × 6371000     		du = 235.582410108377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68966050)-sin(0.68962352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771462074919316-0.771485603852687)×R²
    abs(-2.34421027--2.34425820)×2.35289333717636e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35289333717636e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35289333717636e-05×40589641000000     		ar = 55502.2705103222m²