Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16632 / 15464
↖ ↑ ↗
← N 79.635922°
W134.318848°		 ← 54.95 m → N 79.635922°
W134.316101°		 →
↑
54.98 m
↓
↑
54.98 m
↓
N 79.635427°
W134.318848°		 ← 54.95 m →
3 021 m²		 N 79.635427°
W134.316101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126895904541016 y=0.117984771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126895904541016 × 217)
    floor (0.126895904541016 × 131072)
    floor (16632.5)     		tx = 16632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117984771728516 × 217)
    floor (0.117984771728516 × 131072)
    floor (15464.5)     		ty = 15464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16632 / 15464 ti = "17/16632/15464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16632/15464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16632 ÷ 217
    16632 ÷ 131072     		x = 0.12689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15464 ÷ 217
    15464 ÷ 131072     		y = 0.11798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.7462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34430614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11798095703125 × 2 - 1) × π
    0.7640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40029643777545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34430614} λ = -2.34430614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40029643777545))-π/2
    2×atan(11.0264445509069)-π/2
    2×1.48035268260687-π/2
    2.96070536521374-1.57079632675     		φ = 1.38990904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34430614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38990904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.635922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16632 KachelY 15464 -2.34430614 1.38990904 -134.318848 79.635922
    Oben rechts KachelX + 1 16633 KachelY 15464 -2.34425820 1.38990904 -134.316101 79.635922
    Unten links KachelX 16632 KachelY + 1 15465 -2.34430614 1.38990041 -134.318848 79.635427
    Unten rechts KachelX + 1 16633 KachelY + 1 15465 -2.34425820 1.38990041 -134.316101 79.635427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38990904-1.38990041) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dl = 54.9817299997066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38990904-1.38990041) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dr = 54.9817299997066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34430614--2.34425820) × cos(1.38990904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17990245435513 × 6371000     		do = 54.9468402491958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34430614--2.34425820) × cos(1.38990041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179910943545277 × 6371000     		du = 54.9494330663784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38990904)-sin(1.38990041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17990245435513-0.179910943545277)×R²
    abs(-2.34425820--2.34430614)×8.48919014681537e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.48919014681537e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.48919014681537e-06×40589641000000     		ar = 3021.14361371658m²