Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1663 / 355
↖ ↑ ↗
← N 81.479293°
W 33.837890°		 ← 1 448.03 m → N 81.479293°
W 33.750000°		 →
↑
1 449.15 m
↓
↑
1 449.15 m
↓
N 81.466261°
W 33.837890°		 ← 1 450.23 m →
2 100 006 m²		 N 81.466261°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4061279296875 y=0.0867919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4061279296875 × 212)
    floor (0.4061279296875 × 4096)
    floor (1663.5)     		tx = 1663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0867919921875 × 212)
    floor (0.0867919921875 × 4096)
    floor (355.5)     		ty = 355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1663 / 355 ti = "12/1663/355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1663/355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1663 ÷ 212
    1663 ÷ 4096     		x = 0.406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 355 ÷ 212
    355 ÷ 4096     		y = 0.086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086669921875 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59702947381616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59058260} λ = -0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59702947381616))-π/2
    2×atan(13.4238029920474)-π/2
    2×1.49643913282581-π/2
    2.99287826565161-1.57079632675     		φ = 1.42208194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42208194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.479293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1663 KachelY 355 -0.59058260 1.42208194 -33.837890 81.479293
    Oben rechts KachelX + 1 1664 KachelY 355 -0.58904862 1.42208194 -33.750000 81.479293
    Unten links KachelX 1663 KachelY + 1 356 -0.59058260 1.42185448 -33.837890 81.466261
    Unten rechts KachelX + 1 1664 KachelY + 1 356 -0.58904862 1.42185448 -33.750000 81.466261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42208194-1.42185448) × R
    0.000227460000000068 × 6371000     		dl = 1449.14766000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42208194-1.42185448) × R
    0.000227460000000068 × 6371000     		dr = 1449.14766000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59058260--0.58904862) × cos(1.42208194) × R
    0.00153397999999993 × 0.148166832173394 × 6371000     		do = 1448.03246243163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59058260--0.58904862) × cos(1.42185448) × R
    0.00153397999999993 × 0.148391777721568 × 6371000     		du = 1450.23085225517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42208194)-sin(1.42185448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148166832173394-0.148391777721568)×R²
    abs(-0.58904862--0.59058260)×0.000224945548174232×R²
    0.00153397999999993×0.000224945548174232×6371000²
    0.00153397999999993×0.000224945548174232×40589641000000     		ar = 2100005.75932362m²