Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1663 / 2935
↖ ↑ ↗
← S 61.227957°
W 33.837890°		 ← 4 703.99 m → S 61.227957°
W 33.750000°		 →
↑
4 700.84 m
↓
↑
4 700.84 m
↓
S 61.270233°
W 33.837890°		 ← 4 697.67 m →
22 097 870 m²		 S 61.270233°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4061279296875 y=0.7166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4061279296875 × 212)
    floor (0.4061279296875 × 4096)
    floor (1663.5)     		tx = 1663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7166748046875 × 212)
    floor (0.7166748046875 × 4096)
    floor (2935.5)     		ty = 2935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1663 / 2935 ti = "12/1663/2935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1663/2935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1663 ÷ 212
    1663 ÷ 4096     		x = 0.406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2935 ÷ 212
    2935 ÷ 4096     		y = 0.716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.43310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36064095881567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59058260} λ = -0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36064095881567))-π/2
    2×atan(0.25649632067641)-π/2
    2×0.251083439905248-π/2
    0.502166879810495-1.57079632675     		φ = -1.06862945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06862945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.227957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1663 KachelY 2935 -0.59058260 -1.06862945 -33.837890 -61.227957
    Oben rechts KachelX + 1 1664 KachelY 2935 -0.58904862 -1.06862945 -33.750000 -61.227957
    Unten links KachelX 1663 KachelY + 1 2936 -0.59058260 -1.06936730 -33.837890 -61.270233
    Unten rechts KachelX + 1 1664 KachelY + 1 2936 -0.58904862 -1.06936730 -33.750000 -61.270233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06862945--1.06936730) × R
    0.000737849999999929 × 6371000     		dl = 4700.84234999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06862945--1.06936730) × R
    0.000737849999999929 × 6371000     		dr = 4700.84234999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59058260--0.58904862) × cos(-1.06862945) × R
    0.00153397999999993 × 0.481326024868925 × 6371000     		do = 4703.99278164855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59058260--0.58904862) × cos(-1.06936730) × R
    0.00153397999999993 × 0.480679137651468 × 6371000     		du = 4697.67076155357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06862945)-sin(-1.06936730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481326024868925-0.480679137651468)×R²
    abs(-0.58904862--0.59058260)×0.000646887217456038×R²
    0.00153397999999993×0.000646887217456038×6371000²
    0.00153397999999993×0.000646887217456038×40589641000000     		ar = 22097870.0747154m²