Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16629 / 16126
↖ ↑ ↗
← N 79.303659°
W134.327087°		 ← 56.69 m → N 79.303659°
W134.324341°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.303149°
W134.327087°		 ← 56.69 m →
3 214 m²		 N 79.303149°
W134.324341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126873016357422 y=0.123035430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126873016357422 × 217)
    floor (0.126873016357422 × 131072)
    floor (16629.5)     		tx = 16629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123035430908203 × 217)
    floor (0.123035430908203 × 131072)
    floor (16126.5)     		ty = 16126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16629 / 16126 ti = "17/16629/16126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16629/16126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16629 ÷ 217
    16629 ÷ 131072     		x = 0.126869201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16126 ÷ 217
    16126 ÷ 131072     		y = 0.123031616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126869201660156 × 2 - 1) × π
    -0.746261596679688 × 3.1415926535     		Λ = -2.34444995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123031616210938 × 2 - 1) × π
    0.753936767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36856221022697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34444995} λ = -2.34444995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36856221022697))-π/2
    2×atan(10.6820227346252)-π/2
    2×1.47745314453432-π/2
    2.95490628906863-1.57079632675     		φ = 1.38410996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34444995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.327087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38410996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.303659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16629 KachelY 16126 -2.34444995 1.38410996 -134.327087 79.303659
    Oben rechts KachelX + 1 16630 KachelY 16126 -2.34440201 1.38410996 -134.324341 79.303659
    Unten links KachelX 16629 KachelY + 1 16127 -2.34444995 1.38410106 -134.327087 79.303149
    Unten rechts KachelX + 1 16630 KachelY + 1 16127 -2.34440201 1.38410106 -134.324341 79.303149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38410996-1.38410106) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38410996-1.38410106) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34444995--2.34440201) × cos(1.38410996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185603862240406 × 6371000     		do = 56.688196971597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34444995--2.34440201) × cos(1.38410106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185612607592456 × 6371000     		du = 56.6908680272184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38410996)-sin(1.38410106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185603862240406-0.185612607592456)×R²
    abs(-2.34440201--2.34444995)×8.74535204989368e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74535204989368e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74535204989368e-06×40589641000000     		ar = 3214.40420295858m²