Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16623 / 15505
↖ ↑ ↗
← N 79.615643°
W134.343567°		 ← 55.05 m → N 79.615643°
W134.340820°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.615148°
W134.343567°		 ← 55.06 m →
3 030 m²		 N 79.615148°
W134.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126827239990234 y=0.118297576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126827239990234 × 217)
    floor (0.126827239990234 × 131072)
    floor (16623.5)     		tx = 16623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118297576904297 × 217)
    floor (0.118297576904297 × 131072)
    floor (15505.5)     		ty = 15505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16623 / 15505 ti = "17/16623/15505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16623/15505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16623 ÷ 217
    16623 ÷ 131072     		x = 0.126823425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15505 ÷ 217
    15505 ÷ 131072     		y = 0.118293762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126823425292969 × 2 - 1) × π
    -0.746353149414062 × 3.1415926535     		Λ = -2.34473757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118293762207031 × 2 - 1) × π
    0.763412475585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.39833102489103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34473757} λ = -2.34473757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39833102489103))-π/2
    2×atan(11.0047943175103)-π/2
    2×1.48017572029859-π/2
    2.96035144059719-1.57079632675     		φ = 1.38955511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34473757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.343567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38955511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.615643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16623 KachelY 15505 -2.34473757 1.38955511 -134.343567 79.615643
    Oben rechts KachelX + 1 16624 KachelY 15505 -2.34468963 1.38955511 -134.340820 79.615643
    Unten links KachelX 16623 KachelY + 1 15506 -2.34473757 1.38954647 -134.343567 79.615148
    Unten rechts KachelX + 1 16624 KachelY + 1 15506 -2.34468963 1.38954647 -134.340820 79.615148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38955511-1.38954647) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dl = 55.0454400007341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38955511-1.38954647) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dr = 55.0454400007341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34473757--2.34468963) × cos(1.38955511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180250598519133 × 6371000     		do = 55.0531724381129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34473757--2.34468963) × cos(1.38954647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18025909699543 × 6371000     		du = 55.0557680915248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38955511)-sin(1.38954647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180250598519133-0.18025909699543)×R²
    abs(-2.34468963--2.34473757)×8.49847629702527e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.49847629702527e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.49847629702527e-06×40589641000000     		ar = 3030.49753958419m²