Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16621 / 15463
↖ ↑ ↗
← N 79.636416°
W134.349060°		 ← 54.93 m → N 79.636416°
W134.346314°		 →
↑
54.92 m
↓
↑
54.92 m
↓
N 79.635922°
W134.349060°		 ← 54.94 m →
3 017 m²		 N 79.635922°
W134.346314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126811981201172 y=0.117977142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126811981201172 × 217)
    floor (0.126811981201172 × 131072)
    floor (16621.5)     		tx = 16621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117977142333984 × 217)
    floor (0.117977142333984 × 131072)
    floor (15463.5)     		ty = 15463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16621 / 15463 ti = "17/16621/15463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16621/15463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16621 ÷ 217
    16621 ÷ 131072     		x = 0.126808166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15463 ÷ 217
    15463 ÷ 131072     		y = 0.117973327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.746383666992188 × 3.1415926535     		Λ = -2.34483344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117973327636719 × 2 - 1) × π
    0.764053344726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.40034437467507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34483344} λ = -2.34483344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40034437467507))-π/2
    2×atan(11.0269731371418)-π/2
    2×1.48035699448819-π/2
    2.96071398897638-1.57079632675     		φ = 1.38991766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34483344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.349060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38991766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.636416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16621 KachelY 15463 -2.34483344 1.38991766 -134.349060 79.636416
    Oben rechts KachelX + 1 16622 KachelY 15463 -2.34478551 1.38991766 -134.346314 79.636416
    Unten links KachelX 16621 KachelY + 1 15464 -2.34483344 1.38990904 -134.349060 79.635922
    Unten rechts KachelX + 1 16622 KachelY + 1 15464 -2.34478551 1.38990904 -134.346314 79.635922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38991766-1.38990904) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dl = 54.9180200000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38991766-1.38990904) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dr = 54.9180200000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34483344--2.34478551) × cos(1.38991766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179893974988445 × 6371000     		do = 54.9327893872743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34483344--2.34478551) × cos(1.38990904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17990245435513 × 6371000     		du = 54.9353786638985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38991766)-sin(1.38990904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179893974988445-0.17990245435513)×R²
    abs(-2.34478551--2.34483344)×8.47936668538218e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.47936668538218e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.47936668538218e-06×40589641000000     		ar = 3016.87112534081m²