Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16617 / 50168
↖ ↑ ↗
← N 38.839708°
W134.360046°		 ← 237.85 m → N 38.839708°
W134.357300°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
N 38.837568°
W134.360046°		 ← 237.85 m →
56 583 m²		 N 38.837568°
W134.357300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126781463623047 y=0.382755279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126781463623047 × 217)
    floor (0.126781463623047 × 131072)
    floor (16617.5)     		tx = 16617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382755279541016 × 217)
    floor (0.382755279541016 × 131072)
    floor (50168.5)     		ty = 50168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16617 / 50168 ti = "17/16617/50168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16617/50168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16617 ÷ 217
    16617 ÷ 131072     		x = 0.126777648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50168 ÷ 217
    50168 ÷ 131072     		y = 0.38275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126777648925781 × 2 - 1) × π
    -0.746444702148438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34502519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.736694273361023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34502519} λ = -2.34502519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736694273361023))-π/2
    2×atan(2.08901836403391)-π/2
    2×1.12433855257338-π/2
    2.24867710514677-1.57079632675     		φ = 0.67788078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34502519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.360046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67788078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.839708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16617 KachelY 50168 -2.34502519 0.67788078 -134.360046 38.839708
    Oben rechts KachelX + 1 16618 KachelY 50168 -2.34497726 0.67788078 -134.357300 38.839708
    Unten links KachelX 16617 KachelY + 1 50169 -2.34502519 0.67784344 -134.360046 38.837568
    Unten rechts KachelX + 1 16618 KachelY + 1 50169 -2.34497726 0.67784344 -134.357300 38.837568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67788078-0.67784344) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67788078-0.67784344) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34502519--2.34497726) × cos(0.67788078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778903522430651 × 6371000     		do = 237.84756078372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34502519--2.34497726) × cos(0.67784344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778926939435851 × 6371000     		du = 237.854711447964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67788078)-sin(0.67784344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778903522430651-0.778926939435851)×R²
    abs(-2.34497726--2.34502519)×2.34170051994775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34170051994775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34170051994775e-05×40589641000000     		ar = 56583.1536296872m²