Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16616 / 50163
↖ ↑ ↗
← N 38.850404°
W134.362793°		 ← 237.86 m → N 38.850404°
W134.360046°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
N 38.848264°
W134.362793°		 ← 237.87 m →
56 586 m²		 N 38.848264°
W134.360046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126773834228516 y=0.382717132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126773834228516 × 217)
    floor (0.126773834228516 × 131072)
    floor (16616.5)     		tx = 16616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382717132568359 × 217)
    floor (0.382717132568359 × 131072)
    floor (50163.5)     		ty = 50163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16616 / 50163 ti = "17/16616/50163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16616/50163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16616 ÷ 217
    16616 ÷ 131072     		x = 0.12677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50163 ÷ 217
    50163 ÷ 131072     		y = 0.382713317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.7464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34507313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382713317871094 × 2 - 1) × π
    0.234573364257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.736933957859123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34507313} λ = -2.34507313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736933957859123))-π/2
    2×atan(2.08951912936246)-π/2
    2×1.12443189110754-π/2
    2.24886378221509-1.57079632675     		φ = 0.67806746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34507313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67806746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.850404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16616 KachelY 50163 -2.34507313 0.67806746 -134.362793 38.850404
    Oben rechts KachelX + 1 16617 KachelY 50163 -2.34502519 0.67806746 -134.360046 38.850404
    Unten links KachelX 16616 KachelY + 1 50164 -2.34507313 0.67803012 -134.362793 38.848264
    Unten rechts KachelX + 1 16617 KachelY + 1 50164 -2.34502519 0.67803012 -134.360046 38.848264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67806746-0.67803012) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67806746-0.67803012) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34507313--2.34502519) × cos(0.67806746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.778786433660998 × 6371000     		do = 237.861422802715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34507313--2.34502519) × cos(0.67803012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77880985609532 × 6371000     		du = 237.868576617051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67806746)-sin(0.67803012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778786433660998-0.77880985609532)×R²
    abs(-2.34502519--2.34507313)×2.34224343221845e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34224343221845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34224343221845e-05×40589641000000     		ar = 56586.4516835564m²