Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16615 / 16107
↖ ↑ ↗
← N 79.313340°
W134.365540°		 ← 56.64 m → N 79.313340°
W134.362793°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.312832°
W134.365540°		 ← 56.64 m →
3 204 m²		 N 79.312832°
W134.362793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126766204833984 y=0.122890472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126766204833984 × 217)
    floor (0.126766204833984 × 131072)
    floor (16615.5)     		tx = 16615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122890472412109 × 217)
    floor (0.122890472412109 × 131072)
    floor (16107.5)     		ty = 16107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16615 / 16107 ti = "17/16615/16107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16615/16107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16615 ÷ 217
    16615 ÷ 131072     		x = 0.126762390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16107 ÷ 217
    16107 ÷ 131072     		y = 0.122886657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126762390136719 × 2 - 1) × π
    -0.746475219726562 × 3.1415926535     		Λ = -2.34512107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122886657714844 × 2 - 1) × π
    0.754226684570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36947301131976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34512107} λ = -2.34512107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36947301131976))-π/2
    2×atan(10.6917563646325)-π/2
    2×1.47753763082095-π/2
    2.9550752616419-1.57079632675     		φ = 1.38427893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34512107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.365540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38427893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.313340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16615 KachelY 16107 -2.34512107 1.38427893 -134.365540 79.313340
    Oben rechts KachelX + 1 16616 KachelY 16107 -2.34507313 1.38427893 -134.362793 79.313340
    Unten links KachelX 16615 KachelY + 1 16108 -2.34512107 1.38427005 -134.365540 79.312832
    Unten rechts KachelX + 1 16616 KachelY + 1 16108 -2.34507313 1.38427005 -134.362793 79.312832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38427893-1.38427005) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38427893-1.38427005) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34512107--2.34507313) × cos(1.38427893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185437825504207 × 6371000     		do = 56.6374850785761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34512107--2.34507313) × cos(1.38427005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185446551482169 × 6371000     		du = 56.6401502168524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38427893)-sin(1.38427005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185437825504207-0.185446551482169)×R²
    abs(-2.34507313--2.34512107)×8.72597796194863e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72597796194863e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72597796194863e-06×40589641000000     		ar = 3204.3116562556m²