Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16615 / 13159
↖ ↑ ↗
← N 80.715082°
W134.365540°		 ← 49.28 m → N 80.715082°
W134.362793°		 →
↑
49.25 m
↓
↑
49.25 m
↓
N 80.714639°
W134.365540°		 ← 49.28 m →
2 427 m²		 N 80.714639°
W134.362793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126766204833984 y=0.100399017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126766204833984 × 217)
    floor (0.126766204833984 × 131072)
    floor (16615.5)     		tx = 16615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100399017333984 × 217)
    floor (0.100399017333984 × 131072)
    floor (13159.5)     		ty = 13159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16615 / 13159 ti = "17/16615/13159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16615/13159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16615 ÷ 217
    16615 ÷ 131072     		x = 0.126762390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13159 ÷ 217
    13159 ÷ 131072     		y = 0.100395202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126762390136719 × 2 - 1) × π
    -0.746475219726562 × 3.1415926535     		Λ = -2.34512107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100395202636719 × 2 - 1) × π
    0.799209594726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.51079099139968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34512107} λ = -2.34512107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51079099139968))-π/2
    2×atan(12.3146670047739)-π/2
    2×1.489770130443-π/2
    2.97954026088599-1.57079632675     		φ = 1.40874393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34512107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.365540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40874393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.715082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16615 KachelY 13159 -2.34512107 1.40874393 -134.365540 80.715082
    Oben rechts KachelX + 1 16616 KachelY 13159 -2.34507313 1.40874393 -134.362793 80.715082
    Unten links KachelX 16615 KachelY + 1 13160 -2.34512107 1.40873620 -134.365540 80.714639
    Unten rechts KachelX + 1 16616 KachelY + 1 13160 -2.34507313 1.40873620 -134.362793 80.714639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40874393-1.40873620) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dl = 49.2478299991881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40874393-1.40873620) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dr = 49.2478299991881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34512107--2.34507313) × cos(1.40874393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161344051753468 × 6371000     		do = 49.2786264013691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34512107--2.34507313) × cos(1.40873620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16135168047189 × 6371000     		du = 49.2809564083382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40874393)-sin(1.40873620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161344051753468-0.16135168047189)×R²
    abs(-2.34507313--2.34512107)×7.62871842127644e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.62871842127644e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.62871842127644e-06×40589641000000     		ar = 2426.92278937011m²