Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16614 / 50167
↖ ↑ ↗
← N 38.841847°
W134.368286°		 ← 237.84 m → N 38.841847°
W134.365540°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
N 38.839708°
W134.368286°		 ← 237.85 m →
56 581 m²		 N 38.839708°
W134.365540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126758575439453 y=0.382747650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126758575439453 × 217)
    floor (0.126758575439453 × 131072)
    floor (16614.5)     		tx = 16614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382747650146484 × 217)
    floor (0.382747650146484 × 131072)
    floor (50167.5)     		ty = 50167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16614 / 50167 ti = "17/16614/50167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16614/50167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16614 ÷ 217
    16614 ÷ 131072     		x = 0.126754760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50167 ÷ 217
    50167 ÷ 131072     		y = 0.382743835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126754760742188 × 2 - 1) × π
    -0.746490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34516900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382743835449219 × 2 - 1) × π
    0.234512329101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.736742210260643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34516900} λ = -2.34516900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736742210260643))-π/2
    2×atan(2.0891185074978)-π/2
    2×1.12435722140276-π/2
    2.24871444280553-1.57079632675     		φ = 0.67791812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34516900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.368286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67791812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.841847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16614 KachelY 50167 -2.34516900 0.67791812 -134.368286 38.841847
    Oben rechts KachelX + 1 16615 KachelY 50167 -2.34512107 0.67791812 -134.365540 38.841847
    Unten links KachelX 16614 KachelY + 1 50168 -2.34516900 0.67788078 -134.368286 38.839708
    Unten rechts KachelX + 1 16615 KachelY + 1 50168 -2.34512107 0.67788078 -134.365540 38.839708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67791812-0.67788078) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67791812-0.67788078) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34516900--2.34512107) × cos(0.67791812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778880104339446 × 6371000     		do = 237.84040978785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34516900--2.34512107) × cos(0.67788078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.778903522430651 × 6371000     		du = 237.84756078372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67791812)-sin(0.67788078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778880104339446-0.778903522430651)×R²
    abs(-2.34512107--2.34516900)×2.34180912055404e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34180912055404e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34180912055404e-05×40589641000000     		ar = 56581.4524963487m²