Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16613 / 16100
↖ ↑ ↗
← N 79.316905°
W134.371033°		 ← 56.62 m → N 79.316905°
W134.368286°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.316396°
W134.371033°		 ← 56.62 m →
3 207 m²		 N 79.316396°
W134.368286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126750946044922 y=0.122837066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126750946044922 × 217)
    floor (0.126750946044922 × 131072)
    floor (16613.5)     		tx = 16613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122837066650391 × 217)
    floor (0.122837066650391 × 131072)
    floor (16100.5)     		ty = 16100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16613 / 16100 ti = "17/16613/16100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16613/16100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16613 ÷ 217
    16613 ÷ 131072     		x = 0.126747131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16100 ÷ 217
    16100 ÷ 131072     		y = 0.122833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126747131347656 × 2 - 1) × π
    -0.746505737304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.34521694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122833251953125 × 2 - 1) × π
    0.75433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3698085696171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34521694} λ = -2.34521694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3698085696171))-π/2
    2×atan(10.6953446742037)-π/2
    2×1.47756873829168-π/2
    2.95513747658336-1.57079632675     		φ = 1.38434115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34521694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.371033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38434115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.316905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16613 KachelY 16100 -2.34521694 1.38434115 -134.371033 79.316905
    Oben rechts KachelX + 1 16614 KachelY 16100 -2.34516900 1.38434115 -134.368286 79.316905
    Unten links KachelX 16613 KachelY + 1 16101 -2.34521694 1.38433226 -134.371033 79.316396
    Unten rechts KachelX + 1 16614 KachelY + 1 16101 -2.34516900 1.38433226 -134.368286 79.316396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38434115-1.38433226) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38434115-1.38433226) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34521694--2.34516900) × cos(1.38434115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185376684289027 × 6371000     		do = 56.6188109776854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34521694--2.34516900) × cos(1.38433226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185385420196091 × 6371000     		du = 56.6214791485648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38434115)-sin(1.38433226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185376684289027-0.185385420196091)×R²
    abs(-2.34516900--2.34521694)×8.73590706323979e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.73590706323979e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.73590706323979e-06×40589641000000     		ar = 3206.86253389032m²