Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16612 / 16937
↖ ↑ ↗
← N 78.882236°
W134.373779°		 ← 58.89 m → N 78.882236°
W134.371033°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.881707°
W134.373779°		 ← 58.90 m →
3 467 m²		 N 78.881707°
W134.371033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126743316650391 y=0.129222869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126743316650391 × 217)
    floor (0.126743316650391 × 131072)
    floor (16612.5)     		tx = 16612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129222869873047 × 217)
    floor (0.129222869873047 × 131072)
    floor (16937.5)     		ty = 16937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16612 / 16937 ti = "17/16612/16937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16612/16937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16612 ÷ 217
    16612 ÷ 131072     		x = 0.126739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16937 ÷ 217
    16937 ÷ 131072     		y = 0.129219055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.74652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34526488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129219055175781 × 2 - 1) × π
    0.741561889648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.32968538463511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34526488} λ = -2.34526488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32968538463511))-π/2
    2×atan(10.2747084433342)-π/2
    2×1.47377553475037-π/2
    2.94755106950075-1.57079632675     		φ = 1.37675474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34526488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37675474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.882236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16612 KachelY 16937 -2.34526488 1.37675474 -134.373779 78.882236
    Oben rechts KachelX + 1 16613 KachelY 16937 -2.34521694 1.37675474 -134.371033 78.882236
    Unten links KachelX 16612 KachelY + 1 16938 -2.34526488 1.37674550 -134.373779 78.881707
    Unten rechts KachelX + 1 16613 KachelY + 1 16938 -2.34521694 1.37674550 -134.371033 78.881707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37675474-1.37674550) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37675474-1.37674550) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34526488--2.34521694) × cos(1.37675474) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.192826197072348 × 6371000     		do = 58.8940839327145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34526488--2.34521694) × cos(1.37674550) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.192835263656365 × 6371000     		du = 58.8968531008472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37675474)-sin(1.37674550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192826197072348-0.192835263656365)×R²
    abs(-2.34521694--2.34526488)×9.06658401711447e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.06658401711447e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.06658401711447e-06×40589641000000     		ar = 3467.06079645167m²