Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1661 / 357
↖ ↑ ↗
← N 81.453209°
W 34.013672°		 ← 1 452.43 m → N 81.453209°
W 33.925781°		 →
↑
1 453.54 m
↓
↑
1 453.54 m
↓
N 81.440137°
W 34.013672°		 ← 1 454.64 m →
2 112 776 m²		 N 81.440137°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4056396484375 y=0.0872802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4056396484375 × 212)
    floor (0.4056396484375 × 4096)
    floor (1661.5)     		tx = 1661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0872802734375 × 212)
    floor (0.0872802734375 × 4096)
    floor (357.5)     		ty = 357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1661 / 357 ti = "12/1661/357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1661/357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1661 ÷ 212
    1661 ÷ 4096     		x = 0.405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 357 ÷ 212
    357 ÷ 4096     		y = 0.087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087158203125 × 2 - 1) × π
    0.82568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59396151224048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59365056} λ = -0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59396151224048))-π/2
    2×atan(13.3826823907342)-π/2
    2×1.49621150260633-π/2
    2.99242300521266-1.57079632675     		φ = 1.42162668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42162668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.453209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1661 KachelY 357 -0.59365056 1.42162668 -34.013672 81.453209
    Oben rechts KachelX + 1 1662 KachelY 357 -0.59211658 1.42162668 -33.925781 81.453209
    Unten links KachelX 1661 KachelY + 1 358 -0.59365056 1.42139853 -34.013672 81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 1662 KachelY + 1 358 -0.59211658 1.42139853 -33.925781 81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42162668-1.42139853) × R
    0.000228149999999872 × 6371000     		dl = 1453.54364999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42162668-1.42139853) × R
    0.000228149999999872 × 6371000     		dr = 1453.54364999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59365056--0.59211658) × cos(1.42162668) × R
    0.00153398000000005 × 0.148617051816489 × 6371000     		do = 1452.43245296176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59365056--0.59211658) × cos(1.42139853) × R
    0.00153398000000005 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 1454.63736074096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42162668)-sin(1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148617051816489-0.14884266430057)×R²
    abs(-0.59211658--0.59365056)×0.000225612484081178×R²
    0.00153398000000005×0.000225612484081178×6371000²
    0.00153398000000005×0.000225612484081178×40589641000000     		ar = 2112776.44306603m²