Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16601 / 50004
↖ ↑ ↗
← N 39.189691°
W134.403992°		 ← 236.67 m → N 39.189691°
W134.401245°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
N 39.187562°
W134.403992°		 ← 236.68 m →
56 032 m²		 N 39.187562°
W134.401245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126659393310547 y=0.381504058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126659393310547 × 217)
    floor (0.126659393310547 × 131072)
    floor (16601.5)     		tx = 16601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381504058837891 × 217)
    floor (0.381504058837891 × 131072)
    floor (50004.5)     		ty = 50004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16601 / 50004 ti = "17/16601/50004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16601/50004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16601 ÷ 217
    16601 ÷ 131072     		x = 0.126655578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50004 ÷ 217
    50004 ÷ 131072     		y = 0.381500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126655578613281 × 2 - 1) × π
    -0.746688842773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34579218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381500244140625 × 2 - 1) × π
    0.23699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.744555924898712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34579218} λ = -2.34579218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744555924898712))-π/2
    2×atan(2.10550622445435)-π/2
    2×1.12739273222257-π/2
    2.25478546444514-1.57079632675     		φ = 0.68398914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34579218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.403992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68398914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.189691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16601 KachelY 50004 -2.34579218 0.68398914 -134.403992 39.189691
    Oben rechts KachelX + 1 16602 KachelY 50004 -2.34574425 0.68398914 -134.401245 39.189691
    Unten links KachelX 16601 KachelY + 1 50005 -2.34579218 0.68395198 -134.403992 39.187562
    Unten rechts KachelX + 1 16602 KachelY + 1 50005 -2.34574425 0.68395198 -134.401245 39.187562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68398914-0.68395198) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68398914-0.68395198) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34579218--2.34574425) × cos(0.68398914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775058195158094 × 6371000     		do = 236.673343841757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34579218--2.34574425) × cos(0.68395198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775081675650129 × 6371000     		du = 236.68051389247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68398914)-sin(0.68395198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775058195158094-0.775081675650129)×R²
    abs(-2.34574425--2.34579218)×2.34804920355991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34804920355991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34804920355991e-05×40589641000000     		ar = 56032.4014116921m²