Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1660 / 666
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E111.796875°		 ← 11.730 km → N 53.120405°
E111.972656°		 →
↑
11.745 km
↓
↑
11.745 km
↓
N 53.014783°
E111.796875°		 ← 11.759 km →
137.936 km²		 N 53.014783°
E111.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810791015625 y=0.325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810791015625 × 211)
    floor (0.810791015625 × 2048)
    floor (1660.5)     		tx = 1660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325439453125 × 211)
    floor (0.325439453125 × 2048)
    floor (666.5)     		ty = 666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1660 / 666 ti = "11/1660/666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1660/666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1660 ÷ 211
    1660 ÷ 2048     		x = 0.810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 666 ÷ 211
    666 ÷ 2048     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810546875 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95122356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95122356} λ = 1.95122356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95122356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1660 KachelY 666 1.95122356 0.92712597 111.796875 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 1661 KachelY 666 1.95429152 0.92712597 111.972656 53.120405
    Unten links KachelX 1660 KachelY + 1 667 1.95122356 0.92528252 111.796875 53.014783
    Unten rechts KachelX + 1 1661 KachelY + 1 667 1.95429152 0.92528252 111.972656 53.014783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92528252) × R
    0.00184344999999997 × 6371000     		dl = 11744.6199499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92528252) × R
    0.00184344999999997 × 6371000     		dr = 11744.6199499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95122356-1.95429152) × cos(0.92712597) × R
    0.00306795999999987 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 11730.2302215367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95122356-1.95429152) × cos(0.92528252) × R
    0.00306795999999987 × 0.601608942028614 × 6371000     		du = 11759.0322337068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92528252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.601608942028614)×R²
    abs(1.95429152-1.95122356)×0.00147355222143619×R²
    0.00306795999999987×0.00147355222143619×6371000²
    0.00306795999999987×0.00147355222143619×40589641000000     		ar = 137936269.283817m²