Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1660 / 363
↖ ↑ ↗
← N 81.374479°
W 34.101563°		 ← 1 465.72 m → N 81.374479°
W 34.013672°		 →
↑
1 466.80 m
↓
↑
1 466.80 m
↓
N 81.361287°
W 34.101563°		 ← 1 467.95 m →
2 151 544 m²		 N 81.361287°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4053955078125 y=0.0887451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4053955078125 × 212)
    floor (0.4053955078125 × 4096)
    floor (1660.5)     		tx = 1660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0887451171875 × 212)
    floor (0.0887451171875 × 4096)
    floor (363.5)     		ty = 363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1660 / 363 ti = "12/1660/363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1660/363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1660 ÷ 212
    1660 ÷ 4096     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 363 ÷ 212
    363 ÷ 4096     		y = 0.088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088623046875 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58475762751343))-π/2
    2×atan(13.2600748231518)-π/2
    2×1.49552445380302-π/2
    2.99104890760603-1.57079632675     		φ = 1.42025258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42025258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.374479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1660 KachelY 363 -0.59518455 1.42025258 -34.101563 81.374479
    Oben rechts KachelX + 1 1661 KachelY 363 -0.59365056 1.42025258 -34.013672 81.374479
    Unten links KachelX 1660 KachelY + 1 364 -0.59518455 1.42002235 -34.101563 81.361287
    Unten rechts KachelX + 1 1661 KachelY + 1 364 -0.59365056 1.42002235 -34.013672 81.361287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42025258-1.42002235) × R
    0.000230230000000109 × 6371000     		dl = 1466.79533000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42025258-1.42002235) × R
    0.000230230000000109 × 6371000     		dr = 1466.79533000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.59365056) × cos(1.42025258) × R
    0.00153398999999999 × 0.149975751460138 × 6371000     		do = 1465.72056130046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.59365056) × cos(1.42002235) × R
    0.00153398999999999 × 0.150203373507267 × 6371000     		du = 1467.94512301416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42025258)-sin(1.42002235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149975751460138-0.150203373507267)×R²
    abs(-0.59365056--0.59518455)×0.000227622047128978×R²
    0.00153398999999999×0.000227622047128978×6371000²
    0.00153398999999999×0.000227622047128978×40589641000000     		ar = 2151543.57227277m²