Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1660 / 2940
↖ ↑ ↗
← S 61.438767°
W 34.101563°		 ← 4 672.47 m → S 61.438767°
W 34.013672°		 →
↑
4 669.31 m
↓
↑
4 669.31 m
↓
S 61.480760°
W 34.101563°		 ← 4 666.18 m →
21 802 515 m²		 S 61.480760°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4053955078125 y=0.7178955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4053955078125 × 212)
    floor (0.4053955078125 × 4096)
    floor (1660.5)     		tx = 1660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7178955078125 × 212)
    floor (0.7178955078125 × 4096)
    floor (2940.5)     		ty = 2940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1660 / 2940 ti = "12/1660/2940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1660/2940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1660 ÷ 212
    1660 ÷ 4096     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2940 ÷ 212
    2940 ÷ 4096     		y = 0.7177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7177734375 × 2 - 1) × π
    -0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36831086275488))-π/2
    2×atan(0.254536543793655)-π/2
    2×0.249243772840783-π/2
    0.498487545681565-1.57079632675     		φ = -1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1660 KachelY 2940 -0.59518455 -1.07230878 -34.101563 -61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 1661 KachelY 2940 -0.59365056 -1.07230878 -34.013672 -61.438767
    Unten links KachelX 1660 KachelY + 1 2941 -0.59518455 -1.07304168 -34.101563 -61.480760
    Unten rechts KachelX + 1 1661 KachelY + 1 2941 -0.59365056 -1.07304168 -34.013672 -61.480760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07230878--1.07304168) × R
    0.000732900000000036 × 6371000     		dl = 4669.30590000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07230878--1.07304168) × R
    0.000732900000000036 × 6371000     		dr = 4669.30590000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.59365056) × cos(-1.07230878) × R
    0.00153398999999999 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 4672.47275036395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.59365056) × cos(-1.07304168) × R
    0.00153398999999999 × 0.477453848903823 × 6371000     		du = 4666.18047649108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07230878)-sin(-1.07304168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.477453848903823)×R²
    abs(-0.59365056--0.59518455)×0.000643839301564642×R²
    0.00153398999999999×0.000643839301564642×6371000²
    0.00153398999999999×0.000643839301564642×40589641000000     		ar = 21802515.2810236m²