Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 166 / 85
↖ ↑ ↗
← N 81.672424°
W121.640625°		 ← 5 661.78 m → N 81.672424°
W121.289063°		 →
↑
5 678.98 m
↓
↑
5 678.98 m
↓
N 81.621352°
W121.640625°		 ← 5 696.26 m →
32 251 053 m²		 N 81.621352°
W121.289063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16259765625 y=0.08349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16259765625 × 210)
    floor (0.16259765625 × 1024)
    floor (166.5)     		tx = 166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08349609375 × 210)
    floor (0.08349609375 × 1024)
    floor (85.5)     		ty = 85
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 166 / 85 ti = "10/166/85"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/166/85.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 166 ÷ 210
    166 ÷ 1024     		x = 0.162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85 ÷ 210
    85 ÷ 1024     		y = 0.0830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162109375 × 2 - 1) × π
    -0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830078125 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62003918563379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12302941} λ = -2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62003918563379))-π/2
    2×atan(13.736261838658)-π/2
    2×1.49812451881769-π/2
    2.99624903763539-1.57079632675     		φ = 1.42545271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42545271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.672424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 166 KachelY 85 -2.12302941 1.42545271 -121.640625 81.672424
    Oben rechts KachelX + 1 167 KachelY 85 -2.11689349 1.42545271 -121.289063 81.672424
    Unten links KachelX 166 KachelY + 1 86 -2.12302941 1.42456133 -121.640625 81.621352
    Unten rechts KachelX + 1 167 KachelY + 1 86 -2.11689349 1.42456133 -121.289063 81.621352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42545271-1.42456133) × R
    0.000891380000000108 × 6371000     		dl = 5678.98198000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42545271-1.42456133) × R
    0.000891380000000108 × 6371000     		dr = 5678.98198000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12302941--2.11689349) × cos(1.42545271) × R
    0.00613592000000018 × 0.144832432021451 × 6371000     		do = 5661.78165797779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12302941--2.11689349) × cos(1.42456133) × R
    0.00613592000000018 × 0.145714355831018 × 6371000     		du = 5696.2577761997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42545271)-sin(1.42456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144832432021451-0.145714355831018)×R²
    abs(-2.11689349--2.12302941)×0.000881923809566587×R²
    0.00613592000000018×0.000881923809566587×6371000²
    0.00613592000000018×0.000881923809566587×40589641000000     		ar = 32251052.7728702m²