Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 166 / 213
↖ ↑ ↗
← N 28.921631°
W 63.281250°		 ← 68.433 km → N 28.921631°
W 62.578125°		 →
↑
68.635 km
↓
↑
68.635 km
↓
N 28.304381°
W 63.281250°		 ← 68.836 km →
4 710.79 km²		 N 28.304381°
W 62.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3251953125 y=0.4169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3251953125 × 29)
    floor (0.3251953125 × 512)
    floor (166.5)     		tx = 166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4169921875 × 29)
    floor (0.4169921875 × 512)
    floor (213.5)     		ty = 213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 166 / 213 ti = "9/166/213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/166/213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 166 ÷ 29
    166 ÷ 512     		x = 0.32421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 213 ÷ 29
    213 ÷ 512     		y = 0.416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32421875 × 2 - 1) × π
    -0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416015625 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10446617} λ = -1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527689391017578))-π/2
    2×atan(1.69501127210133)-π/2
    2×1.03778700885387-π/2
    2.07557401770774-1.57079632675     		φ = 0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 166 KachelY 213 -1.10446617 0.50477769 -63.281250 28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 167 KachelY 213 -1.09219432 0.50477769 -62.578125 28.921631
    Unten links KachelX 166 KachelY + 1 214 -1.10446617 0.49400464 -63.281250 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 167 KachelY + 1 214 -1.09219432 0.49400464 -62.578125 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50477769-0.49400464) × R
    0.01077305 × 6371000     		dl = 68635.1015499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50477769-0.49400464) × R
    0.01077305 × 6371000     		dr = 68635.1015499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10446617--1.09219432) × cos(0.50477769) × R
    0.0122718500000001 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 68433.0103098407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10446617--1.09219432) × cos(0.49400464) × R
    0.0122718500000001 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 68836.3686368356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50477769)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.880441101351802)×R²
    abs(-1.09219432--1.10446617)×0.0051590933207486×R²
    0.0122718500000001×0.0051590933207486×6371000²
    0.0122718500000001×0.0051590933207486×40589641000000     		ar = 4710794442.62983m²