Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16596 / 50996
↖ ↑ ↗
← S 70.237176°
W 88.835449°		 ← 206.52 m → S 70.237176°
W 88.829956°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
S 70.239032°
W 88.835449°		 ← 206.51 m →
42 642 m²		 S 70.239032°
W 88.829956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.253242492675781 y=0.778144836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.253242492675781 × 216)
    floor (0.253242492675781 × 65536)
    floor (16596.5)     		tx = 16596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778144836425781 × 216)
    floor (0.778144836425781 × 65536)
    floor (50996.5)     		ty = 50996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16596 / 50996 ti = "16/16596/50996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16596/50996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16596 ÷ 216
    16596 ÷ 65536     		x = 0.25323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50996 ÷ 216
    50996 ÷ 65536     		y = 0.77813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.4935302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.55047108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.5562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74758761254877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55047108} λ = -1.55047108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74758761254877))-π/2
    2×atan(0.174193659586397)-π/2
    2×0.172463179451333-π/2
    0.344926358902666-1.57079632675     		φ = -1.22586997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55047108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22586997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.237176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16596 KachelY 50996 -1.55047108 -1.22586997 -88.835449 -70.237176
    Oben rechts KachelX + 1 16597 KachelY 50996 -1.55037521 -1.22586997 -88.829956 -70.237176
    Unten links KachelX 16596 KachelY + 1 50997 -1.55047108 -1.22590238 -88.835449 -70.239032
    Unten rechts KachelX + 1 16597 KachelY + 1 50997 -1.55037521 -1.22590238 -88.829956 -70.239032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22586997--1.22590238) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22586997--1.22590238) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55047108--1.55037521) × cos(-1.22586997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338127372518205 × 6371000     		do = 206.524063836349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55047108--1.55037521) × cos(-1.22590238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338096871278089 × 6371000     		du = 206.505434051916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22586997)-sin(-1.22590238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338127372518205-0.338096871278089)×R²
    abs(-1.55037521--1.55047108)×3.05012401165539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05012401165539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05012401165539e-05×40589641000000     		ar = 42642.0141412179m²