Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16595 / 50012
↖ ↑ ↗
← N 39.172659°
W134.420471°		 ← 236.73 m → N 39.172659°
W134.417725°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
N 39.170530°
W134.420471°		 ← 236.74 m →
56 046 m²		 N 39.170530°
W134.417725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126613616943359 y=0.381565093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126613616943359 × 217)
    floor (0.126613616943359 × 131072)
    floor (16595.5)     		tx = 16595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381565093994141 × 217)
    floor (0.381565093994141 × 131072)
    floor (50012.5)     		ty = 50012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16595 / 50012 ti = "17/16595/50012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16595/50012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16595 ÷ 217
    16595 ÷ 131072     		x = 0.126609802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50012 ÷ 217
    50012 ÷ 131072     		y = 0.381561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126609802246094 × 2 - 1) × π
    -0.746780395507812 × 3.1415926535     		Λ = -2.34607980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381561279296875 × 2 - 1) × π
    0.23687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.744172429701752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34607980} λ = -2.34607980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744172429701752))-π/2
    2×atan(2.10469892773721)-π/2
    2×1.12724409866866-π/2
    2.25448819733731-1.57079632675     		φ = 0.68369187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34607980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.420471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68369187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.172659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16595 KachelY 50012 -2.34607980 0.68369187 -134.420471 39.172659
    Oben rechts KachelX + 1 16596 KachelY 50012 -2.34603187 0.68369187 -134.417725 39.172659
    Unten links KachelX 16595 KachelY + 1 50013 -2.34607980 0.68365471 -134.420471 39.170530
    Unten rechts KachelX + 1 16596 KachelY + 1 50013 -2.34603187 0.68365471 -134.417725 39.170530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68369187-0.68365471) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68369187-0.68365471) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34607980--2.34603187) × cos(0.68369187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775246002808028 × 6371000     		do = 236.73069316699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34607980--2.34603187) × cos(0.68365471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775269474737175 × 6371000     		du = 236.737860602922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68369187)-sin(0.68365471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775246002808028-0.775269474737175)×R²
    abs(-2.34603187--2.34607980)×2.34719291469787e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34719291469787e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34719291469787e-05×40589641000000     		ar = 56045.9783462725m²